Exercício 189. Calcule os seguintes limites. Lembre que
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e, ou ainda, \lim _{u \rightarrow 0}(1+u)^{\frac{1}{u}}=e.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{13^{x}-8^{x}}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{13^{x}-8^{x}}{x}.
Dados importantes fornecidos (que podemos usar): \displaystyle\lim_{u\to 0}\bigl(1+u\bigr)^{1/u}=e. Não há imagens.

Passo 2

Primeiro vamos extrair uma propriedade útil da identidade dada. Se \displaystyle\lim_{u\to 0}\bigl(1+u\bigr)^{1/u}=e, então tomando logaritmo natural em ambos os lados obtemos
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Explicando devagar: aplicar \ln à sequência leva \frac{1}{u}\ln(1+u) e o limite do logaritmo do lado direito é \ln e=1. Assim temos a aproximação básica \ln(1+u)\sim u quando u\to 0.

Passo 3

A partir do passo anterior vamos mostrar a seguinte identidade padrão, muito útil em limites envolvendo exponencial:
\lim_{t\to 0}\frac{e^{t}-1}{t}=1.
Prova curta e didática: defina u=e^{t}-1. Quando t\to 0 tem-se u\to 0. Reescrevendo,
\frac{e^{t}-1}{t}=\frac{u}{\ln(1+u)}.
Pelo Passo 2 sabemos que \displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1, portanto \displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{u}{\ln(1+u)}=1. Assim \displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{e^{t}-1}{t}=1. Em palavras: e^{t}=1+t+o(t) quando t\to 0.

Passo 4

Agora reescrevemos as potências na forma exponencial com logaritmo natural, que é uma técnica padrão:
13^{x}=e^{x\ln 13},\qquad 8^{x}=e^{x\ln 8}.
Substituindo no numerador do limite:
\frac{13^{x}-8^{x}}{x}=\frac{e^{x\ln 13}-e^{x\ln 8}}{x}.

Passo 5

Factorizamos e^{x\ln 8} do numerador para ficar com uma diferença na forma e^{\text{algo}}-1:
\frac{e^{x\ln 13}-e^{x\ln 8}}{x} = e^{x\ln 8}\cdot\frac{e^{x(\ln 13-\ln 8)}-1}{x}.
Agora introduzimos a notação t=x(\ln 13-\ln 8). Observe que quando x\to 0 temos t\to 0. Reescrevendo a segunda fração em termos de t:
\frac{e^{x(\ln 13-\ln 8)}-1}{x} = \frac{e^{t}-1}{t}\cdot\frac{t}{x}.

Passo 6

Juntando tudo:
\frac{13^{x}-8^{x}}{x} = e^{x\ln 8}\cdot\frac{e^{t}-1}{t}\cdot\frac{t}{x}.
Agora tomamos limite quando x\to 0. Usamos três fatos já estabelecidos:
  • \displaystyle\lim_{x\to 0}e^{x\ln 8}=e^{0}=1.
  • \displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{e^{t}-1}{t}=1 (Passo 3).
  • \displaystyle\frac{t}{x}=\ln 13-\ln 8 por definição de t.
    Portanto o limite total é
1\cdot 1\cdot(\ln 13-\ln 8)=\ln 13-\ln 8.
Podemos também combinar os logaritmos:
\ln 13-\ln 8=\ln\!\left(\frac{13}{8}\right).

Resposta

\displaystyle \ln\!\left(\frac{13}{8}\right)

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