Exercício 189. Calcule os seguintes limites. Lembre que
, ou ainda,
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Dados importantes fornecidos (que podemos usar):
. Não há imagens.
Passo 2
Primeiro vamos extrair uma propriedade útil da identidade dada. Se
, então tomando logaritmo natural em ambos os lados obtemos
Explicando devagar: aplicar
à sequência leva
e o limite do logaritmo do lado direito é
. Assim temos a aproximação básica
quando
.
Passo 3
A partir do passo anterior vamos mostrar a seguinte identidade padrão, muito útil em limites envolvendo exponencial:
Prova curta e didática: defina
. Quando
tem-se
. Reescrevendo,
Pelo Passo 2 sabemos que
, portanto
. Assim
. Em palavras:
quando
.
Passo 4
Agora reescrevemos as potências na forma exponencial com logaritmo natural, que é uma técnica padrão:
Substituindo no numerador do limite:
Passo 5
Factorizamos
do numerador para ficar com uma diferença na forma
:
Agora introduzimos a notação
. Observe que quando
temos
. Reescrevendo a segunda fração em termos de
:
Passo 6
Juntando tudo:
Agora tomamos limite quando
. Usamos três fatos já estabelecidos:
-
. -
(Passo 3). -
por definição de .
Portanto o limite total é
Podemos também combinar os logaritmos: