Exercício 189. Calcule os seguintes limites. Lembre que
, ou ainda,
.
Passo 1
O enunciado dá o seguinte limite que devemos calcular:
Informações relevantes do enunciado:
- A expressão dentro do
é . - O ponto de interesse é
(limite no zero). - Note que em
a expressão interna não está definida (denominador nulo), então precisamos estudar o comportamento quando se aproxima de pela direita e pela esquerda.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão interna, fatorando potências de
para ver o comportamento dominante quando
é pequeno. Faço fatoração em numerador e denominador:
Agora simplifico um fator
comum:
Explicando essa etapa: fatorar é útil porque mostra qual é a ordem em
dos termos dominantes; aqui o numerador tem termo dominante
(quando
é pequeno,
é quase zero), enquanto o denominador tem um fator
isolado, o que sugere uma singularidade do tipo
.
Passo 3
Agora estimo o comportamento da fração quando
. Para
muito pequeno,
é negligenciável frente a
, e
fica próximo de
. Logo, heurística:
Isso indica que, conforme
se aproxima de
,
- se
então ; - se
então .
Para ser mais rigoroso: para
suficientemente pequeno temos
(por exemplo para
), e
tem sinal negativo próximo de
. Portanto o sinal e o crescimento em módulo da fração coincidem com os da função
quando
está próximo de
.
Passo 4
Agora uso a propriedade da função
: quando o argumento tende para
, tem-se
e quando o argumento tende para
,
Essa é uma propriedade básica da função arctangente (assintotas horizontais em
).
Passo 5
Aplico isso aos limites laterais da nossa expressão interna.
Limite pela direita (
):
- A razão interna satisfaz
quando . - Logo
Limite pela esquerda (
):
- A razão interna satisfaz
quando . - Logo
Passo 6
Como os limites laterais são diferentes (
pela esquerda e
pela direita), o limite bilateral
não existe. É suficiente que os dois limites laterais sejam distintos para concluir que o limite quando
tende a
não existe.
Respire fundo: é comum ver esse tipo de comportamento quando há um polo simples (tipo
) multiplicado por um sinal que muda com
.
Resposta
Não existe;