Exercício 189. Calcule os seguintes limites. Lembre que
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e, ou ainda, \lim _{u \rightarrow 0}(1+u)^{\frac{1}{u}}=e.
\lim _{x \rightarrow 0} \arctan \left(\frac{2 x^{5}-x}{5 x^{3}+x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado dá o seguinte limite que devemos calcular:
\lim_{x\to 0} \arctan\!\left(\frac{2x^{5}-x}{5x^{3}+x^{2}}\right).
Informações relevantes do enunciado:
  • A expressão dentro do \arctan é \dfrac{2x^{5}-x}{5x^{3}+x^{2}}.
  • O ponto de interesse é x\to 0 (limite no zero).
  • Note que em x=0 a expressão interna não está definida (denominador nulo), então precisamos estudar o comportamento quando x se aproxima de 0 pela direita e pela esquerda.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão interna, fatorando potências de x para ver o comportamento dominante quando x é pequeno. Faço fatoração em numerador e denominador:
\frac{2x^{5}-x}{5x^{3}+x^{2}} = \frac{x(2x^{4}-1)}{x^{2}(5x+1)}.
Agora simplifico um fator x comum:
\frac{2x^{5}-x}{5x^{3}+x^{2}} = \frac{2x^{4}-1}{x(5x+1)}.
Explicando essa etapa: fatorar é útil porque mostra qual é a ordem em x dos termos dominantes; aqui o numerador tem termo dominante -1 (quando x é pequeno, 2x^4 é quase zero), enquanto o denominador tem um fator x isolado, o que sugere uma singularidade do tipo 1/x.

Passo 3

Agora estimo o comportamento da fração quando x\to 0. Para x muito pequeno, 2x^{4} é negligenciável frente a 1, e 5x+1 fica próximo de 1. Logo, heurística:
\frac{2x^{4}-1}{x(5x+1)} \approx \frac{-1}{x\cdot 1} = -\frac{1}{x}.
Isso indica que, conforme x se aproxima de 0,
  • se x\to 0^{+} então -\dfrac{1}{x}\to -\infty;
  • se x\to 0^{-} então -\dfrac{1}{x}\to +\infty.
Para ser mais rigoroso: para |x| suficientemente pequeno temos 5x+1>0 (por exemplo para |x|<\tfrac{1}{5}), e 2x^{4}-1 tem sinal negativo próximo de -1. Portanto o sinal e o crescimento em módulo da fração coincidem com os da função -1/x quando x está próximo de 0.

Passo 4

Agora uso a propriedade da função \arctan: quando o argumento tende para +\infty, tem-se
\lim_{t\to +\infty}\arctan(t)=\frac{\pi}{2},
e quando o argumento tende para -\infty,
\lim_{t\to -\infty}\arctan(t)=-\frac{\pi}{2}.
Essa é uma propriedade básica da função arctangente (assintotas horizontais em \pm\pi/2).

Passo 5

Aplico isso aos limites laterais da nossa expressão interna.
Limite pela direita ( x\to 0^{+}):
  • A razão interna satisfaz \dfrac{2x^{5}-x}{5x^{3}+x^{2}}\to -\infty quando x\to 0^{+}.
  • Logo
\lim_{x\to 0^{+}} \arctan\!\left(\frac{2x^{5}-x}{5x^{3}+x^{2}}\right) = -\frac{\pi}{2}.
Limite pela esquerda ( x\to 0^{-}):
  • A razão interna satisfaz \dfrac{2x^{5}-x}{5x^{3}+x^{2}}\to +\infty quando x\to 0^{-}.
  • Logo
\lim_{x\to 0^{-}} \arctan\!\left(\frac{2x^{5}-x}{5x^{3}+x^{2}}\right) = +\frac{\pi}{2}.

Passo 6

Como os limites laterais são diferentes ( +\pi/2 pela esquerda e -\pi/2 pela direita), o limite bilateral \lim_{x\to 0} não existe. É suficiente que os dois limites laterais sejam distintos para concluir que o limite quando x tende a 0 não existe.
Respire fundo: é comum ver esse tipo de comportamento quando há um polo simples (tipo 1/x) multiplicado por um sinal que muda com x.

Resposta

Não existe; \displaystyle \lim_{x\to 0^{-}} \arctan\!\left(\frac{2x^{5}-x}{5x^{3}+x^{2}}\right)=\frac{\pi}{2}
\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} \arctan\!\left(\frac{2x^{5}-x}{5x^{3}+x^{2}}\right)=-\frac{\pi}{2}

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