a) Escreva o sistema na forma matricial.
b) Resolva o sistema pelo método de Gauss-Jacobi, com aproximação inicial
x^{(0)}=y^{(0)}=z^{(0)}=0
e tolerância
\varepsilon=5 \times 10^{-2}
c) Resolva o sistema pelo método de Gauss-Seidel, com aproximação inicial
x^{(0)}=y^{(0)}=z^{(0)}=0
e tolerância
\varepsilon=5 \times 10^{-2}
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} 10x - y + 2z = 6,\\[4pt] - x + 11y - z = 25,\\[4pt] 2x - y + 10z = -11, \end{array}\right.
e pede três coisas:
(a) escrever o sistema na forma matricial;
(b) resolver pelo método de Gauss–Jacobi com aproximação inicial \,x^{(0)}=y^{(0)}=z^{(0)}=0 e tolerância \,\varepsilon=5\times10^{-2};
(c) resolver pelo método de Gauss–Seidel com a mesma aproximação inicial e tolerância.
Informações relevantes dadas:
Coeficientes das incógnitas (extraídos do enunciado);
Vetor dos termos independentes (extraído do enunciado);
Aproximação inicial nula;
Tolerância \varepsilon=5\times10^{-2} (critério de parada que usaremos: norma infinito da diferença entre iterações sucessivas menor que \varepsilon).]
Passo 2
Forma matricial do sistema (resposta da parte (a)):
Comentário rápido (didático): aqui A é a matriz dos coeficientes, \mathbf{x}=(x,y,z)^T o vetor incógnita e \mathbf{b} o vetor dos termos independentes.]
Passo 3
Preparação teórica curta (como aplicar os métodos e critério de convergência):
Para isolar cada incógnita, escrevemos as expressões:
x=\frac{6 + y - 2z}{10},\qquad y=\frac{25 + x + z}{11},\qquad z=\frac{-11 -2x + y}{10}.
Essas fórmulas servem como fórmulas de iteração.
Método de Gauss–Jacobi: em cada iteração k+1 usamos somente valores x^{(k)},y^{(k)},z^{(k)} (todas as atualizações usam os valores da iteração anterior). Ou seja,
Método de Gauss–Seidel: em cada iteração k+1 usamos, quando disponíveis, os valores já atualizados dentro da mesma iteração. Ou seja, para computar y^{(k+1)} usamos x^{(k+1)} já calculado, e para z^{(k+1)} usamos x^{(k+1)},y^{(k+1)}.
Critério de parada escolhido: norma infinito da diferença entre iterações sucessivas,
Agora a diferença máxima \|\mathbf{x}^{(3)}-\mathbf{x}^{(2)}\|_{\infty}=\max\{0,01315570464,\;0,00708591964,\;0,00333973292\}=0,01315570464<\varepsilon.
Conclusão do Gauss–Seidel: parámos na iteração k=3. Aproximação final (Gauss–Seidel):
A iteração de Gauss–Seidel convergiu mais rápido (3 iterações) do que Jacobi (4 iterações) para a mesma tolerância aqui, porque GS usa valores mais recentes dentro da mesma iteração.
Ambas as aproximações estão próximas entre si; se for preciso um valor mais exato, reduzir \varepsilon e iterar mais.