Exercício 1: [2.0 pontos] Considere o seguinte sistema linear:
\left\{\begin{array}{l} 10 x-y+2 z=6 \\\\ -x+11 y-z=25 \\\\ 2 x-y+10 z=-11 \end{array}\right.
a) Escreva o sistema na forma matricial.
b) Resolva o sistema pelo método de Gauss-Jacobi, com aproximação inicial
x^{(0)}=y^{(0)}=z^{(0)}=0
e tolerância
\varepsilon=5 \times 10^{-2}
c) Resolva o sistema pelo método de Gauss-Seidel, com aproximação inicial
x^{(0)}=y^{(0)}=z^{(0)}=0
e tolerância
\varepsilon=5 \times 10^{-2}

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} 10x - y + 2z = 6,\\[4pt] - x + 11y - z = 25,\\[4pt] 2x - y + 10z = -11, \end{array}\right.
e pede três coisas:
(a) escrever o sistema na forma matricial;
(b) resolver pelo método de Gauss–Jacobi com aproximação inicial \,x^{(0)}=y^{(0)}=z^{(0)}=0 e tolerância \,\varepsilon=5\times10^{-2};
(c) resolver pelo método de Gauss–Seidel com a mesma aproximação inicial e tolerância.
Informações relevantes dadas:
  • Coeficientes das incógnitas (extraídos do enunciado);
  • Vetor dos termos independentes (extraído do enunciado);
  • Aproximação inicial nula;
  • Tolerância \varepsilon=5\times10^{-2} (critério de parada que usaremos: norma infinito da diferença entre iterações sucessivas menor que \varepsilon).]

Passo 2

Forma matricial do sistema (resposta da parte (a)):
\underbrace{\begin{pmatrix} 10 & -1 & 2\\[4pt] -1 & 11 & -1\\[4pt] 2 & -1 & 10 \end{pmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix}}_{\mathbf{x}} = \underbrace{\begin{pmatrix}6\\[4pt]25\\[4pt]-11\end{pmatrix}}_{\mathbf{b}}.
Comentário rápido (didático): aqui A é a matriz dos coeficientes, \mathbf{x}=(x,y,z)^T o vetor incógnita e \mathbf{b} o vetor dos termos independentes.]

Passo 3

Preparação teórica curta (como aplicar os métodos e critério de convergência):
  • Para isolar cada incógnita, escrevemos as expressões:
x=\frac{6 + y - 2z}{10},\qquad y=\frac{25 + x + z}{11},\qquad z=\frac{-11 -2x + y}{10}.
Essas fórmulas servem como fórmulas de iteração.
  • Método de Gauss–Jacobi: em cada iteração k+1 usamos somente valores x^{(k)},y^{(k)},z^{(k)} (todas as atualizações usam os valores da iteração anterior). Ou seja,
\begin{aligned} x^{(k+1)} &= \frac{6 + y^{(k)} - 2 z^{(k)}}{10},\\[4pt] y^{(k+1)} &= \frac{25 + x^{(k)} + z^{(k)}}{11},\\[4pt] z^{(k+1)} &= \frac{-11 -2 x^{(k)} + y^{(k)}}{10}. \end{aligned}
  • Método de Gauss–Seidel: em cada iteração k+1 usamos, quando disponíveis, os valores já atualizados dentro da mesma iteração. Ou seja, para computar y^{(k+1)} usamos x^{(k+1)} já calculado, e para z^{(k+1)} usamos x^{(k+1)},y^{(k+1)}.
  • Critério de parada escolhido: norma infinito da diferença entre iterações sucessivas,
\|\mathbf{x}^{(k+1)}-\mathbf{x}^{(k)}\|_{\infty}=\max\big\{|x^{(k+1)}-x^{(k)}|,\;|y^{(k+1)}-y^{(k)}|,\;|z^{(k+1)}-z^{(k)}|\big\},
e paramos quando essa quantidade for menor que \varepsilon=5\times10^{-2}.
  • Observação sobre convergência: a matriz A é estritamente diagonal dominante (por linha), pois
|10|>|-1|+|2|,\quad |11|>|-1|+|-1|,\quad |10|>|2|+|-1|,
logo tanto Jacobi quanto Gauss–Seidel convergem para a solução.]

Passo 4

Método de Gauss–Jacobi — iterações detalhadas (parte (b)) com \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0)^T.
Iteração k=0 \Rightarrow x^{(0)}=0,\;y^{(0)}=0,\;z^{(0)}=0.
Cálculo de k=1:
\begin{aligned} x^{(1)} &= \frac{6 + y^{(0)} - 2 z^{(0)}}{10} = \frac{6+0-0}{10} = \frac{6}{10} = 0,6,\\[4pt] y^{(1)} &= \frac{25 + x^{(0)} + z^{(0)}}{11} = \frac{25+0+0}{11} = \frac{25}{11} \approx 2,272727,\\[4pt] z^{(1)} &= \frac{-11 -2 x^{(0)} + y^{(0)}}{10} = \frac{-11-0+0}{10} = -1,1. \end{aligned}
Diferença máxima \|\mathbf{x}^{(1)}-\mathbf{x}^{(0)}\|_{\infty}=\max\{0,6,\;2,272727,\;1,1\}=2,272727>\varepsilon.
Cálculo de k=2 (usando só valores da iteração anterior):
\begin{aligned} x^{(2)} &= \frac{6 + y^{(1)} - 2 z^{(1)}}{10} = \frac{6 + 2,272727 -2(-1,1)}{10} = \frac{10,472727}{10} =1,0472727,\\[4pt] y^{(2)} &= \frac{25 + x^{(1)} + z^{(1)}}{11} = \frac{25 + 0,6 -1,1}{11} = \frac{24,5}{11} \approx 2,2272727,\\[4pt] z^{(2)} &= \frac{-11 -2 x^{(1)} + y^{(1)}}{10} = \frac{-11 -2(0,6) + 2,272727}{10} = \frac{-9,927273}{10} \approx -0,9927273. \end{aligned}
Diferença máxima \|\mathbf{x}^{(2)}-\mathbf{x}^{(1)}\|_{\infty}=\max\{0,4472727,\;0,0454543,\;0,1072727\}=0,4472727>\varepsilon.
Cálculo de k=3:
\begin{aligned} x^{(3)} &= \frac{6 + y^{(2)} - 2 z^{(2)}}{10} = \frac{6 + 2,2272727 -2(-0,9927273)}{10} = \frac{10,2127273}{10} \approx 1,02127273,\\[4pt] y^{(3)} &= \frac{25 + x^{(2)} + z^{(2)}}{11} = \frac{25 + 1,0472727 -0,9927273}{11} = \frac{25,0545454}{11} \approx 2,27768685,\\[4pt] z^{(3)} &= \frac{-11 -2 x^{(2)} + y^{(2)}}{10} = \frac{-11 -2(1,0472727) + 2,2272727}{10} = \frac{-10,8672727}{10} \approx -1,08672727. \end{aligned}
Diferença máxima \|\mathbf{x}^{(3)}-\mathbf{x}^{(2)}\|_{\infty}=\max\{0,0260000,\;0,05041415,\;0,094\}=0,094>\varepsilon.
Cálculo de k=4:
\begin{aligned} x^{(4)} &= \frac{6 + y^{(3)} - 2 z^{(3)}}{10} = \frac{6 + 2,27768685 -2(-1,08672727)}{10} = \frac{10,45114139}{10} \approx 1,045114139,\\[4pt] y^{(4)} &= \frac{25 + x^{(3)} + z^{(3)}}{11} = \frac{25 + 1,02127273 -1,08672727}{11} = \frac{24,93454546}{11} \approx 2,26677686,\\[4pt] z^{(4)} &= \frac{-11 -2 x^{(3)} + y^{(3)}}{10} = \frac{-11 -2(1,02127273) + 2,27768685}{10} = \frac{-10,76485861}{10} \approx -1,076485861. \end{aligned}
Agora a diferença máxima \|\mathbf{x}^{(4)}-\mathbf{x}^{(3)}\|_{\infty}=\max\{0,023841409,\;0,01090999,\;0,010241409\}=0,023841409<\varepsilon.
Conclusão do Jacobi: parámos na iteração k=4. Aproximação final (Jacobi):
\mathbf{x}^{(\text{Jacobi})}\approx \begin{pmatrix} 1,045114139\\[4pt] 2,26677686\\[4pt] -1,076485861 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Interpretação prática e aviso (Jacobi):
  • Foram necessárias 4 iterações até que a mudança máxima entre iterações ficasse abaixo de \varepsilon=5\times10^{-2}.
  • A aproximação dada é razoável para a tolerância pedida. Se fosse necessária mais precisão, deveríamos reduzir \varepsilon e iterar mais.

Passo 6

Método de Gauss–Seidel — preparação (parte (c)):
  • As fórmulas são as mesmas isolando as incógnitas, mas dentro da iteração usamos imediatamente os valores já atualizados:
\begin{aligned} x^{(k+1)} &= \frac{6 + y^{(k)} - 2 z^{(k)}}{10},\\[4pt] y^{(k+1)} &= \frac{25 + x^{(k+1)} + z^{(k)}}{11},\\[4pt] z^{(k+1)} &= \frac{-11 -2 x^{(k+1)} + y^{(k+1)}}{10}. \end{aligned}
  • Critério de parada: mesma norma infinito da diferença entre vetores sucessivos.]

Passo 7

Gauss–Seidel — iterações detalhadas a partir de \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0)^T.
Iteração k=0 \Rightarrow ponto inicial x^{(0)}=0,\;y^{(0)}=0,\;z^{(0)}=0.
Cálculo de k=1:
\begin{aligned} x^{(1)} &= \frac{6 + y^{(0)} -2 z^{(0)}}{10} = 0,6,\\[4pt] y^{(1)} &= \frac{25 + x^{(1)} + z^{(0)}}{11} = \frac{25 + 0,6 + 0}{11} = \frac{25,6}{11} \approx 2,327272727,\\[4pt] z^{(1)} &= \frac{-11 -2 x^{(1)} + y^{(1)}}{10} = \frac{-11 -2(0,6) + 2,327272727}{10} = \frac{-9,872727273}{10} \approx -0,9872727273. \end{aligned}
Diferença máxima \|\mathbf{x}^{(1)}-\mathbf{x}^{(0)}\|_{\infty}=2,327272727>\varepsilon.
Cálculo de k=2 (usando valores já atualizados de x^{(1)},y^{(1)},z^{(1)}):
\begin{aligned} x^{(2)} &= \frac{6 + y^{(1)} -2 z^{(1)}}{10} = \frac{6 + 2,327272727 -2(-0,9872727273)}{10} = \frac{10,3018181816}{10} \approx 1,030181816,\\[4pt] y^{(2)} &= \frac{25 + x^{(2)} + z^{(1)}}{11} = \frac{25 + 1,030181816 -0,9872727273}{11} = \frac{25,0429090887}{11} \approx 2,276628099,\\[4pt] z^{(2)} &= \frac{-11 -2 x^{(2)} + y^{(2)}}{10} = \frac{-11 -2(1,030181816) + 2,276628099}{10} = \frac{-10,783735532}{10} \approx -1,0783735532. \end{aligned}
Diferença máxima \|\mathbf{x}^{(2)}-\mathbf{x}^{(1)}\|_{\infty}=\max\{0,430181816,\;0,050644628,\;0,091100825\}=0,430181816>\varepsilon.
Cálculo de k=3:
\begin{aligned} x^{(3)} &= \frac{6 + y^{(2)} -2 z^{(2)}}{10} = \frac{6 + 2,276628099 -2(-1,0783735532)}{10} = \frac{10,4333752064}{10} \approx 1,04333752064,\\[4pt] y^{(3)} &= \frac{25 + x^{(3)} + z^{(2)}}{11} = \frac{25 + 1,04333752064 -1,0783735532}{11} = \frac{24,96496396744}{11} \approx 2,26954217976,\\[4pt] z^{(3)} &= \frac{-11 -2 x^{(3)} + y^{(3)}}{10} = \frac{-11 -2(1,04333752064) + 2,26954217976}{10} = \frac{-10,81713286152}{10} \approx -1,08171328615. \end{aligned}
Agora a diferença máxima \|\mathbf{x}^{(3)}-\mathbf{x}^{(2)}\|_{\infty}=\max\{0,01315570464,\;0,00708591964,\;0,00333973292\}=0,01315570464<\varepsilon.
Conclusão do Gauss–Seidel: parámos na iteração k=3. Aproximação final (Gauss–Seidel):
\mathbf{x}^{(\text{GS})}\approx \begin{pmatrix} 1,04333752064\\[4pt] 2,26954217976\\[4pt] -1,08171328615 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Comparação breve e motivação prática:
  • A iteração de Gauss–Seidel convergiu mais rápido (3 iterações) do que Jacobi (4 iterações) para a mesma tolerância aqui, porque GS usa valores mais recentes dentro da mesma iteração.
  • Ambas as aproximações estão próximas entre si; se for preciso um valor mais exato, reduzir \varepsilon e iterar mais.

Resposta

(a) \begin{pmatrix} 10 & -1 & 2\\[4pt] -1 & 11 & -1\\[4pt] 2 & -1 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\[4pt]25\\[4pt]-11\end{pmatrix}.
(b) Gauss–Jacobi (parou em 4 iterações, critério \|\mathbf{x}^{(k+1)}-\mathbf{x}^{(k)}\|_{\infty}<5\times10^{-2}):
x\approx1,045114139,\qquad y\approx2,26677686,\qquad z\approx-1,076485861.
(c) Gauss–Seidel (parou em 3 iterações, mesmo critério):
x\approx1,04333752064,\qquad y\approx2,26954217976,\qquad z\approx-1,08171328615.]

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