Sendo a derivada covariante do vetor um tensor de segunda ordem, mostre que a conexão se transforma conforme
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado:
- Pede-se mostrar a lei de transformação da conexão (os símbolos de Christoffel) quando mudamos de coordenadas.
- Informação que vamos usar (implícita no enunciado): a derivada covariante de um vetor é um tensor de tipo
. Ou seja, para qualquer vetor vale que transforma como um tensor. - Também usamos a relação usual entre componentes de um vetor nas duas coordenadas:
- Vamos trabalhar com a definição da derivada covariante de um campo vetorial nas coordenadas originais e nas coordenadas transformadas:
Passo 2
Explicando a condição tensorial que vamos impor (a “idéia-chave”):
- Dizer que
é um tensor significa que, sob mudança de coordenadas, suas componentes transformam como
- Essa é a regra padrão de transformação para um objeto com um índice covariante
e um índice contravariante . Vou usar essa igualdade para obter a transformação de .
Passo 3
Escrevendo explicitamente os dois lados em termos de derivadas parciais e das conexões:
- Lado primado (definição em coordenadas
):
- Lado não-primado (aplicado ao RHS da condição tensorial):
- A estratégia: expandir
em termos de derivadas não-primadas (usar regra da cadeia), substituir pela transformação do vetor, e comparar com o RHS acima.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia e a regra do produto para expandir
:
- Primeiro, lembrar que a derivada parcial no sistema primado se escreve em termos das parciais no sistema não-primado como
- Usando também
, obtemos
- Aqui usei a regra do produto (derivada de
) e a regra da cadeia para . Esta segunda derivada é a origem do termo não-tensorial que veremos.]
Passo 5
Substituir as expressões de
e de
na definição primada da derivada covariante:
- Temos
. Assim
Passo 6
Escrever o lado direito imposto pela propriedade tensorial e agrupá-lo de forma compatível:
- Do passo 2, o RHS é
- Agora igualamos esta expressão àquela do passo 5 (ambos são
). Observamos que os termos que envolvem aparecem em ambos os lados e se cancelam (mesma coeficiente). O que resta comparar são os termos que multiplicam sem derivada.
Passo 7
Isolar os termos que multiplicam as componentes
e escrever a igualdade dos coeficientes:
- Reescrevendo o que restou após cancelar os termos com
, e renomeando índices de modo conveniente (troque por no termo com a segunda derivada para combinar), obtemos
- Como a igualdade vale para todo vetor
arbitrário, os coeficientes multiplicando devem coincidir. Assim podemos retirar e igualar as matrizes de coeficientes.
Passo 8
Resolver para
:
- A igualdade dos coeficientes dá
- Agora multiplicamos à direita por
para “inverter” o fator (essa é a matriz inversa), obtendo
Passo 9
Reorganizando a ordem dos fatores (e notando que é a mesma forma pedida no enunciado):
- A expressão pode ser escrita, trocando apenas a ordem de multiplicação das jacobianas (produto comutativo de escalares), como
- Esta é exatamente a lei de transformação que o enunciado pede. Observação interpretativa: o segundo termo, contendo segundas derivadas das coordenadas, impede que
seja um tensor; ele é um termo inhomogêneo que transforma de forma diferente.
Passo 10
Resumo didático curto (pra fixar):
- A ideia principal é: imponha que
transforme como tensor; expresse em termos das quantidades não-primadas usando regra da cadeia; compare com a transformação tensorial; os termos com cancelam e o resto fornece a transformação de . - A presença do termo com
mostra que não é um tensor porque aparecem segundas derivadas das coordenadas.