Sendo a derivada covariante do vetor um tensor de segunda ordem, mostre que a conexão se transforma conforme
\Gamma_{\mu \nu}^{\alpha} \Longrightarrow \Gamma_{\sigma \lambda}^{\prime \beta}=\frac{\partial x^{\prime \beta}}{\partial x^{\alpha}} \frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\prime \sigma}} \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\prime \lambda}} \Gamma_{\mu \nu}^{\alpha}-\frac{\partial^{2} x^{\prime \beta}}{\partial x^{\mu} \partial x^{\nu}} \frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\prime \sigma}} \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\prime \lambda}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado:
  • Pede-se mostrar a lei de transformação da conexão (os símbolos de Christoffel) quando mudamos de coordenadas.
  • Informação que vamos usar (implícita no enunciado): a derivada covariante de um vetor é um tensor de tipo (1,1). Ou seja, para qualquer vetor V vale que \nabla_\mu V^\alpha transforma como um tensor.
  • Também usamos a relação usual entre componentes de um vetor nas duas coordenadas:
V'^{\beta}=\frac{\partial x'^{\beta}}{\partial x^{\alpha}}\,V^{\alpha}.
  • Vamos trabalhar com a definição da derivada covariante de um campo vetorial nas coordenadas originais e nas coordenadas transformadas:
\nabla_{\mu}V^{\alpha}=\partial_{\mu}V^{\alpha}+\Gamma_{\mu\nu}^{\alpha}V^{\nu}, \qquad \nabla'_{\sigma}V'^{\beta}=\partial'_{\sigma}V'^{\beta}+\Gamma'_{\sigma\lambda}{}^{\beta}V'^{\lambda}.

Passo 2

Explicando a condição tensorial que vamos impor (a “idéia-chave”):
  • Dizer que \nabla_{\mu}V^{\alpha} é um tensor (1,1) significa que, sob mudança de coordenadas, suas componentes transformam como
\nabla'_{\sigma}V'^{\beta}=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\sigma}} \frac{\partial x'^{\beta}}{\partial x^{\alpha}}\, \nabla_{\mu}V^{\alpha}.
  • Essa é a regra padrão de transformação para um objeto com um índice covariante \sigma e um índice contravariante \beta. Vou usar essa igualdade para obter a transformação de \Gamma.

Passo 3

Escrevendo explicitamente os dois lados em termos de derivadas parciais e das conexões:
  • Lado primado (definição em coordenadas x'):
\nabla'_{\sigma}V'^{\beta}=\partial'_{\sigma}V'^{\beta}+\Gamma'_{\sigma\lambda}{}^{\beta}V'^{\lambda}.
  • Lado não-primado (aplicado ao RHS da condição tensorial):
\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\sigma}} \frac{\partial x'^{\beta}}{\partial x^{\alpha}} \nabla_{\mu}V^{\alpha} = \frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\sigma}} \frac{\partial x'^{\beta}}{\partial x^{\alpha}} \bigl(\partial_{\mu}V^{\alpha}+\Gamma_{\mu\nu}^{\alpha}V^{\nu}\bigr).
  • A estratégia: expandir \partial'_{\sigma}V'^{\beta} em termos de derivadas não-primadas (usar regra da cadeia), substituir V'^{\lambda} pela transformação do vetor, e comparar com o RHS acima.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia e a regra do produto para expandir \partial'_{\sigma}V'^{\beta}:
  • Primeiro, lembrar que a derivada parcial no sistema primado se escreve em termos das parciais no sistema não-primado como
\partial'_{\sigma}=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\sigma}}\partial_{\mu}.
  • Usando também V'^{\beta}=\dfrac{\partial x'^{\beta}}{\partial x^{\alpha}}V^{\alpha}, obtemos
\begin{aligned} \partial'_{\sigma}V'^{\beta} &= \frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\sigma}}\partial_{\mu}\!\left(\frac{\partial x'^{\beta}}{\partial x^{\alpha}}V^{\alpha}\right)\\[4pt] &= \frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\sigma}} \left( \frac{\partial^{2} x'^{\beta}}{\partial x^{\mu}\partial x^{\alpha}}\,V^{\alpha} + \frac{\partial x'^{\beta}}{\partial x^{\alpha}}\,\partial_{\mu}V^{\alpha} \right). \end{aligned}
  • Aqui usei a regra do produto (derivada de A(x)B(x)) e a regra da cadeia para \partial_\mu (\partial x'^\beta/\partial x^\alpha). Esta segunda derivada é a origem do termo não-tensorial que veremos.]

Passo 5

Substituir as expressões de \partial'_{\sigma}V'^{\beta} e de V'^{\lambda} na definição primada da derivada covariante:
  • Temos V'^{\lambda}=\dfrac{\partial x'^{\lambda}}{\partial x^{\nu}}V^{\nu}. Assim
\begin{aligned} \nabla'_{\sigma}V'^{\beta} &= \partial'_{\sigma}V'^{\beta}+\Gamma'_{\sigma\lambda}{}^{\beta}V'^{\lambda}\\[4pt] &= \frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\sigma}} \left( \frac{\partial^{2} x'^{\beta}}{\partial x^{\mu}\partial x^{\alpha}}\,V^{\alpha} + \frac{\partial x'^{\beta}}{\partial x^{\alpha}}\,\partial_{\mu}V^{\alpha} \right) + \Gamma'_{\sigma\lambda}{}^{\beta}\, \frac{\partial x'^{\lambda}}{\partial x^{\nu}}\,V^{\nu}. \end{aligned}]

Passo 6

Escrever o lado direito imposto pela propriedade tensorial e agrupá-lo de forma compatível:
  • Do passo 2, o RHS é
\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\sigma}} \frac{\partial x'^{\beta}}{\partial x^{\alpha}} \partial_{\mu}V^{\alpha} + \frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\sigma}} \frac{\partial x'^{\beta}}{\partial x^{\alpha}} \Gamma_{\mu\nu}^{\alpha}V^{\nu}.
  • Agora igualamos esta expressão àquela do passo 5 (ambos são \nabla'_{\sigma}V'^{\beta}). Observamos que os termos que envolvem \partial_{\mu}V^{\alpha} aparecem em ambos os lados e se cancelam (mesma coeficiente). O que resta comparar são os termos que multiplicam V sem derivada.

Passo 7

Isolar os termos que multiplicam as componentes V^{\nu} e escrever a igualdade dos coeficientes:
  • Reescrevendo o que restou após cancelar os termos com \partial_{\mu}V^{\alpha}, e renomeando índices de modo conveniente (troque \alpha por \nu no termo com a segunda derivada para combinar), obtemos
\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\sigma}} \frac{\partial^{2} x'^{\beta}}{\partial x^{\mu}\partial x^{\nu}}\,V^{\nu} + \Gamma'_{\sigma\lambda}{}^{\beta}\, \frac{\partial x'^{\lambda}}{\partial x^{\nu}}\,V^{\nu} = \frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\sigma}} \frac{\partial x'^{\beta}}{\partial x^{\alpha}} \Gamma_{\mu\nu}^{\alpha}V^{\nu}.
  • Como a igualdade vale para todo vetor V^{\nu} arbitrário, os coeficientes multiplicando V^{\nu} devem coincidir. Assim podemos retirar V^{\nu} e igualar as matrizes de coeficientes.

Passo 8

Resolver para \Gamma'_{\sigma\lambda}{}^{\beta}:
  • A igualdade dos coeficientes dá
\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\sigma}} \frac{\partial^{2} x'^{\beta}}{\partial x^{\mu}\partial x^{\nu}} + \Gamma'_{\sigma\lambda}{}^{\beta}\, \frac{\partial x'^{\lambda}}{\partial x^{\nu}} = \frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\sigma}} \frac{\partial x'^{\beta}}{\partial x^{\alpha}} \Gamma_{\mu\nu}^{\alpha}.
  • Agora multiplicamos à direita por \dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\lambda}} para “inverter” o fator \dfrac{\partial x'^{\lambda}}{\partial x^{\nu}} (essa é a matriz inversa), obtendo
\Gamma'_{\sigma\lambda}{}^{\beta} = \frac{\partial x'^{\beta}}{\partial x^{\alpha}} \frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\sigma}} \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\lambda}} \Gamma_{\mu\nu}^{\alpha} - \frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\sigma}} \frac{\partial^{2} x'^{\beta}}{\partial x^{\mu}\partial x^{\nu}} \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\lambda}}.

Passo 9

Reorganizando a ordem dos fatores (e notando que é a mesma forma pedida no enunciado):
  • A expressão pode ser escrita, trocando apenas a ordem de multiplicação das jacobianas (produto comutativo de escalares), como
\Gamma'_{\sigma\lambda}{}^{\beta} = \frac{\partial x'^{\beta}}{\partial x^{\alpha}} \frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\sigma}} \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\lambda}} \Gamma_{\mu\nu}^{\alpha} - \frac{\partial^{2} x'^{\beta}}{\partial x^{\mu}\partial x^{\nu}} \frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\sigma}} \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\lambda}}.
  • Esta é exatamente a lei de transformação que o enunciado pede. Observação interpretativa: o segundo termo, contendo segundas derivadas das coordenadas, impede que \Gamma seja um tensor; ele é um termo inhomogêneo que transforma de forma diferente.

Passo 10

Resumo didático curto (pra fixar):
  • A ideia principal é: imponha que \nabla_{\mu}V^{\alpha} transforme como tensor; expresse \nabla'_{\sigma}V'^{\beta} em termos das quantidades não-primadas usando regra da cadeia; compare com a transformação tensorial; os termos com \partial V cancelam e o resto fornece a transformação de \Gamma.
  • A presença do termo com \dfrac{\partial^{2}x'^{\beta}}{\partial x^{\mu}\partial x^{\nu}} mostra que \Gamma não é um tensor porque aparecem segundas derivadas das coordenadas.

Resposta

\Gamma_{\mu \nu}^{\alpha} \Longrightarrow \Gamma_{\sigma \lambda}^{\prime \beta}=\frac{\partial x^{\prime \beta}}{\partial x^{\alpha}} \frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\prime \sigma}} \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\prime \lambda}} \Gamma_{\mu \nu}^{\alpha}-\frac{\partial^{2} x^{\prime \beta}}{\partial x^{\mu} \partial x^{\nu}} \frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\prime \sigma}} \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\prime \lambda}}

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