Exercício 6.20. Admita que o tempo de espera (em minutos) numa fila de um banco seja modelado por uma variável aleatória
com distribuição exponencial com parâmetro
. Calcule
(b) A probabilidade de o tempo de esperar ser superior a 15 minutos;
(b) A probabilidade de o tempo de esperar ser superior a 15 minutos;
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um problema sobre o tempo de espera numa fila de banco. Esse tempo é representado por uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição exponencial com parâmetro $ \lambda = \frac{1}{10} $. Nosso objetivo aqui é calcular a probabilidade de alguém esperar mais de 15 minutos na fila, ou seja, $ P(X > 15) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma distribuição exponencial. Essa distribuição é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente. No nosso caso, estamos falando do tempo de espera na fila.
O parâmetro $ \lambda $ na distribuição exponencial representa a taxa com que os eventos (nesse caso, pessoas sendo atendidas) ocorrem. Aqui, $ \lambda = \frac{1}{10} $ significa que, em média, uma pessoa é atendida a cada 10 minutos.
Passo 3
A fórmula para calcular a probabilidade de o tempo de espera $ X $ ser maior que um certo valor $ x $ na distribuição exponencial é:
Onde $ e $ é a base do logaritmo natural, aproximadamente igual a 2,71828.
Passo 4
Agora, vamos aplicar essa fórmula para o nosso caso específico, onde queremos saber $ P(X > 15) $:
Substituindo $ \lambda = \frac{1}{10} $:
Passo 5
Vamos calcular $ e^{-1,5} $. Usando uma calculadora ou uma tabela de valores exponenciais, temos:
Resposta
A probabilidade de o tempo de espera ser superior a 15 minutos é aproximadamente $ 0,2231 $ ou 22,31 %.