Exercício 20. (Apostol seção 4.10 exercício 8) Dado uma matriz tal que , prove as seguintes afirmações:
a) é invertível.
b) é par.
c) não tem autovalores reais.
d)
Passo 1
O enunciado dá uma matriz real quadrada que satisfaz
Queremos mostrar quatro fatos usando propriedades de determinante, inversibilidade e autovalores.
Passo 2
(a) Para ver que é invertível, basta observar que
Então é a inversa de , logo é invertível.
Passo 3
(b) Aplicando determinante à relação , temos
Como e , segue
O lado esquerdo é não–negativo, então e isso só ocorre se for par.
Passo 4
(c) Suponha, por absurdo, que exista autovalor real com vetor próprio não-nulo . Então
Mas , logo , ou seja
Como , deve ser , o que não tem solução em . Contradição.
Passo 5
(d) Como não tem autovalores reais e a matriz é real, seus autovalores em aparecem em pares conjugados e . Como é par, digamos , cada um aparece com mesma multiplicidade . Então o determinante, produto de todos os autovalores, é
Resposta
a) A é invertível, com inversa -A.
b) n é par.
c) A não tem autovalores reais.
d) det(A)=1.