Exercício 20. (Apostol seção 4.10 exercício 8) Dado uma matriz A in Mn(R) tal que A^2=-I, prove as seguintes afirmações:
a) A é invertível.
b) n é par.
c) A não tem autovalores reais.
d) det(A)=1

Passo 1

O enunciado dá uma matriz real quadrada Ain Mn(R) que satisfaz
A^2 = -I
Queremos mostrar quatro fatos usando propriedades de determinante, inversibilidade e autovalores.

Passo 2

(a) Para ver que A é invertível, basta observar que
A,( -A ) ;=;-A^2 ;=; -(-I);=;I
Então -A é a inversa de A, logo A é invertível.

Passo 3

(b) Aplicando determinante à relação A^2=-I, temos
det(A^2);=;det(-I)
Como det(A^2)=det(A)^2 e det(-I)=(-1)^n, segue
det(A)^2 ;=;(-1)^n
O lado esquerdo é não–negativo, então (-1)^n>=0 e isso só ocorre se n for par.

Passo 4

(c) Suponha, por absurdo, que exista autovalor real lambda com vetor próprio não-nulo v. Então
A v=lambda v Longrightarrow A^2v=lambda^2v
Mas A^2v=-v, logo lambda^2v=-v, ou seja
(lambda^2+1),v=0
Como vneq0, deve ser lambda^2+1=0, o que não tem solução em R. Contradição.

Passo 5

(d) Como A não tem autovalores reais e a matriz é real, seus autovalores em C aparecem em pares conjugados i e -i. Como n é par, digamos n=2m, cada um aparece com mesma multiplicidade m. Então o determinante, produto de todos os autovalores, é
det(A) =underbraceicdot(-i)=1;times;underbraceicdot(-i)=1;cdots;(m vezes) =1^m=1

Resposta

a) A é invertível, com inversa -A.
b) n é par.
c) A não tem autovalores reais.
d) det(A)=1.

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