Exercício 20. (Apostol seção 12.17 exercício 8) Assuma diferenciabilidade dos campos vetoriais e que eles estejam definidos num conjunto
. Suponha que
sejam tais que
Logo existem
e
tais que
e
. Mostre que
e
satisfazem as seguintes EDPs:
Passo 1
O enunciado trata de um campo vetorial
em
que se decompõe como
com
e
. Como o domínio é simplesmente conexo, existe um potencial vetorial
tal que
e um potencial escalar
tal que
Precisamos usar as identidades de cálculo vetorial
além de
, para obter as equações pedidas.
Passo 2
Aplicando a divergência à decomposição
, obtemos
Pela identidade
e pela definição da Laplaciana escalar, isto é
, segue
Passo 3
Agora aplicamos o rotacional em
:
Como
e usando a identidade vetorial
concluímos