Exercício 20. (Apostol seção 12.17 exercício 8) Assuma diferenciabilidade dos campos vetoriais e que eles estejam definidos num conjunto Omega=] a1, a2[times] b1, b2[times] c1, c2[. Suponha que H, F, G: Omega R^3 sejam tais que
H=F+G, nabla cdot F=0, nabla times G=0
Logo existem U e varphi tais que F=nabla times U e G=nabla varphi. Mostre que U e varphi satisfazem as seguintes EDPs:
De<a varphi=nabla H e nabla(nabla U)-De<a U=nabla times H

Passo 1

O enunciado trata de um campo vetorial H em Omega=,]a1,a2[times]b1,b2[times]c1,c2[ que se decompõe como
H = F + G,
com nablacdot F = 0 e nablatimes G = 0. Como o domínio é simplesmente conexo, existe um potencial vetorial U tal que
F = nablatimes U
e um potencial escalar varphi tal que
G = nablavarphi
Precisamos usar as identidades de cálculo vetorial
nablacdot(nablatimes U)=0, nablatimes(nablavarphi)=0, nablatimes(nablatimes U)=nabla(nablacdot U)-De<a U,
além de De<avarphi=nablacdot(nablavarphi), para obter as equações pedidas.

Passo 2

Aplicando a divergência à decomposição H= nablatimes U + nablavarphi, obtemos
nablacdot H = nablacdot(nablatimes U) + nablacdot(nablavarphi)
Pela identidade nablacdot(nablatimes U)=0 e pela definição da Laplaciana escalar, isto é De<avarphi = nablacdot(nablavarphi), segue
De<avarphi = nablacdot H

Passo 3

Agora aplicamos o rotacional em H = nablatimes U + nablavarphi:
nablatimes H = nablatimes(nablatimes U) + nablatimes(nablavarphi)
Como nablatimes(nablavarphi)=0 e usando a identidade vetorial
nablatimes(nablatimes U)=nabla(nablacdot U) - De<a U,
concluímos
nabla(nablacdot U) - De<a U = nablatimes H

Resposta

De<avarphi = nablacdot H e nabla(nablacdot U) - De<a U = nablatimes H

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