Problema 74 Construa os gráficos das funções:
Passo 1
O enunciado pede para “construir o gráfico” da função
Este é um polinômio de grau 4. Para esboçar o gráfico com segurança, vamos usar o procedimento padrão de análise de funções:
– domínio e simetria,
– zeros (interceptos com o eixo ),
– derivada primeira para achar extremos,
– derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão,
– esboço final.
– domínio e simetria,
– zeros (interceptos com o eixo
– derivada primeira para achar extremos,
– derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão,
– esboço final.
Passo 2
Domínio e simetria:
O domínio de é todo
.
Como
O domínio de
Como
a função é par e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo
.
Passo 3
Interceptos com o eixo
(zeros):
Resolvendo
Resolvendo
temos
(raiz dupla em
) e
(raízes em
).
Logo, os interceptos são e
.
Logo, os interceptos são
Passo 4
Extremos pela derivada primeira:
Calcule
Calcule
Soluções de
são
e
.
Para classificar, usamos
Para classificar, usamos
– Em
:
, portanto
é mínimo local.
– Em :
, portanto
são máximos locais.
Valores:
– Em
Valores:
Passo 5
Pontos de inflexão e concavidade:
Resolva :
Resolva
Valores em
:
Concavidade:
– em
(côncavo para cima).
– em
(côncavo para baixo).
–
–
Passo 6
Esboço do gráfico:
– É uma curva par, abre para baixo quando cresce (coeficiente de
é negativo).
– Raiz dupla em (toca o eixo
em
e volta).
– Cruza o eixo em .
– Mínimo local em .
– Máximos locais em .
– Pontos de inflexão em .
– É uma curva par, abre para baixo quando
– Raiz dupla em
– Cruza o eixo em
– Mínimo local em
– Máximos locais em
– Pontos de inflexão em
Resposta
O gráfico de
é uma curva em “M” invertido, simétrica em relação a
, com:
– mínimo local e raiz dupla em ,
– máximos locais em ,
– cruzamentos em ,
– pontos de inflexão em .
– mínimo local e raiz dupla em
– máximos locais em
– cruzamentos em
– pontos de inflexão em