Problema 74 Construa os gráficos das funções:
y=2 x^2-x^4

Passo 1

O enunciado pede para “construir o gráfico” da função
y = 2x^2 - x^4
Este é um polinômio de grau 4. Para esboçar o gráfico com segurança, vamos usar o procedimento padrão de análise de funções:
– domínio e simetria,
– zeros (interceptos com o eixo x),
– derivada primeira para achar extremos,
– derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão,
– esboço final.

Passo 2

Domínio e simetria:
O domínio de ,y=2x^2-x^4 é todo R.
Como
f(-x)=2(-x)^2-(-x)^4=2x^2-x^4=f(x),
a função é par e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 3

Interceptos com o eixo x (zeros):
Resolvendo
2x^2-x^4=0 Longrightarrow x^2(2 - x^2)=0
temos x^2=0 (raiz dupla em x=0) e x^2=2 (raízes em x=pmraiz2).
Logo, os interceptos são (0,0) e l(pmraiz2,0r).

Passo 4

Extremos pela derivada primeira:
Calcule
f'(x)=ddx(2x^2-x^4)=4x-4x^3=4x,(1-x^2)
Soluções de f'(x)=0 são x=0 e x=pm1.
Para classificar, usamos
f''(x)=ddx(4x-4x^3)=4-12x^2
– Em x=0: f''(0)=4>0, portanto (0,0) é mínimo local.
– Em x=pm1: f''(pm1)=4-12=-8<0, portanto l(pm1,f(pm1)r) são máximos locais.
Valores:
f(0)=0, f(pm1)=2cdot1 -1^2=1

Passo 5

Pontos de inflexão e concavidade:
Resolva f''(x)=0:
4-12x^2=0 Longrightarrow x=pm1raiz3
Valores em x=pm1/raiz3:
fl(tfrac1raiz3r) =2l(tfrac13r)-l(tfrac13r)^2 =tfrac23-tfrac19 =tfrac59
Concavidade:
f''(x)>0 em lvert xrvert<1/raiz3 (côncavo para cima).
f''(x)<0 em lvert xrvert>1/raiz3 (côncavo para baixo).

Passo 6

Esboço do gráfico:
– É uma curva par, abre para baixo quando lvert xrvert cresce (coeficiente de x^4 é negativo).
– Raiz dupla em 0 (toca o eixo x em (0,0) e volta).
– Cruza o eixo em (pmraiz2,0).
– Mínimo local em (0,0).
– Máximos locais em l(pm1,1r).
– Pontos de inflexão em l(pmtfrac1raiz3,tfrac59r).

Resposta

O gráfico de y=2x^2-x^4 é uma curva em “M” invertido, simétrica em relação a y, com:
– mínimo local e raiz dupla em (0,0),
– máximos locais em l(pm1,1r),
– cruzamentos em l(pmraiz2,0r),
– pontos de inflexão em l(pmtfrac1raiz3,tfrac59r).

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