Sabendo que a função dada por
, sabendo que
e
, determine:
a) o domínio e raízes (ou zeros) de
;
b) os intervalos
onde é crescente ou decrescente;
c) os pontos de máximo e mínimo locais de
;
d) intervalos onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo;
e) pontos de inflexão;
f) assíntotas horizontas e assíntotas verticais, caso existam;
g) com as informações obtidas, esboce o gráfico de
.
a) o domínio e raízes (ou zeros) de
b) os intervalos
c) os pontos de máximo e mínimo locais de
d) intervalos onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo;
e) pontos de inflexão;
f) assíntotas horizontas e assíntotas verticais, caso existam;
g) com as informações obtidas, esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado pede a análise completa da função
Isso envolve:
– determinar domínio e zeros;
– estudar monotonicidade e extremos usando ;
– estudar concavidade e ponto de inflexão usando ;
– achar assíntotas via limites em ;
– finalmente esboçar o gráfico qualitativo.
– determinar domínio e zeros;
– estudar monotonicidade e extremos usando
– estudar concavidade e ponto de inflexão usando
– achar assíntotas via limites em
– finalmente esboçar o gráfico qualitativo.
Passo 2
Domínio e raízes.
Como é combinação de exponenciais e polinômios, o domínio é todos os reais,
.
Para achar as raízes resolvemos
Como
Para achar as raízes resolvemos
Como
para todo
, resta
, logo a única raiz é
Passo 3
Monotonicidade e extremos.
Calculamos a derivada:
Calculamos a derivada:
Como
, o sinal de
coincide com o de
. Portanto
– se e somente se
, ou seja,
cresce em
;
– se e somente se
, ou seja,
decresce em
.
O único ponto crítico é , onde
–
–
O único ponto crítico é
Como a derivada muda de positiva para negativa em
, ali há um máximo local:
Não há mínimo local.
Passo 4
Concavidade e ponto de inflexão.
A segunda derivada é
A segunda derivada é
O sinal de
vem de
:
– para
(côncavo para cima);
– para
(côncavo para baixo).
Em muda o sinal, logo há ponto de inflexão em
–
–
Em
Passo 5
Assíntotas.
– Em ,
, não há assíntota horizontal à direita.
– Em ,
e
, logo
. Existe assíntota horizontal
– Em
– Em
– O domínio é
, não há assíntotas verticais.
Passo 6
Esboço qualitativo.
Principais pontos e comportamentos:
– raiz em ;\n– intercepto em
no ponto
que é máximo local;\n– ponto de inflexão em
;\n– cresce de
até
, depois decresce para
;\n– concavidade para cima até
e para baixo depois;\n– assíntota horizontal
à esquerda.
Com isso desenha-se um “morro” em , desce cruzando
e tende a
, aproximando-se de
quando
.
Principais pontos e comportamentos:
– raiz em
Com isso desenha-se um “morro” em
Resposta
(a) Domínio
; raiz única em
.
(b) Crescente em ; decrescente em
.
(c) Máximo local em ; sem mínimo local.
(d) Côncavo para cima em ; côncavo para baixo em
.
(e) Ponto de inflexão em .
(f) Assíntota horizontal ; sem verticais.
(g) Gráfico: cresce até , inflete em
, decresce cruzando
e vai a
, aproximando-se de
à esquerda.
(b) Crescente em
(c) Máximo local em
(d) Côncavo para cima em
(e) Ponto de inflexão em
(f) Assíntota horizontal
(g) Gráfico: cresce até