Sabendo que a função dada por f(x)=2 e^x-2 x e^x, sabendo que lim x +infty f(x)= -infty e lim x -infty f(x)=0, determine:
a) o domínio e raízes (ou zeros) de f(x);
b) os intervalos f(x) onde é crescente ou decrescente;
c) os pontos de máximo e mínimo locais de f(x);
d) intervalos onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo;
e) pontos de inflexão;
f) assíntotas horizontas e assíntotas verticais, caso existam;
g) com as informações obtidas, esboce o gráfico de f(x).

Passo 1

O enunciado pede a análise completa da função
f(x)=2e^x-2x,e^x
Isso envolve:
– determinar domínio e zeros;
– estudar monotonicidade e extremos usando f'(x);
– estudar concavidade e ponto de inflexão usando f''(x);
– achar assíntotas via limites em xtopminfty;
– finalmente esboçar o gráfico qualitativo.

Passo 2

Domínio e raízes.
Como f(x) é combinação de exponenciais e polinômios, o domínio é todos os reais, R.
Para achar as raízes resolvemos
f(x)=2e^x(1-x)=0
Como e^xneq0 para todo x, resta 1-x=0, logo a única raiz é
x=1

Passo 3

Monotonicidade e extremos.
Calculamos a derivada:
f'(x)=ddxl(2e^xr)-ddxl(2x,e^xr) =2e^x-l(2e^x+2x,e^xr)=-2x,e^x
Como e^x>0, o sinal de f'(x) coincide com o de -2x. Portanto
f'(x)>0 se e somente se x<0, ou seja, f cresce em (-infty,0);
f'(x)<0 se e somente se x>0, ou seja, f decresce em (0,infty).
O único ponto crítico é x=0, onde
f(0)=2e^0-0=2
Como a derivada muda de positiva para negativa em 0, ali há um máximo local:
máximo local em (0,2) á
Não há mínimo local.

Passo 4

Concavidade e ponto de inflexão.
A segunda derivada é
f''(x)=ddxl(-2x,e^xr)=-2e^x-2x,e^x=-2e^x(x+1)
O sinal de f''(x) vem de -2(x+1):
f''(x)>0 para x<-1 (côncavo para cima);
f''(x)<0 para x>-1 (côncavo para baixo).
Em x=-1 muda o sinal, logo há ponto de inflexão em
x=-1, f(-1)=2e^-1-2(-1)e^-1=4e

Passo 5

Assíntotas.
– Em xto+infty, f(x)=2e^x(1-x)sim-2x,e^xto-infty, não há assíntota horizontal à direita.
– Em xto-infty, e^xto0 e x,e^xto0, logo f(x)to0. Existe assíntota horizontal
y=0
– O domínio é R, não há assíntotas verticais.

Passo 6

Esboço qualitativo.
Principais pontos e comportamentos:
– raiz em (1,0);\n– intercepto em y no ponto (0,2) que é máximo local;\n– ponto de inflexão em l(-1,4/er);\n– cresce de -infty até (0,2), depois decresce para -infty;\n– concavidade para cima até x=-1 e para baixo depois;\n– assíntota horizontal y=0 à esquerda.
Com isso desenha-se um “morro” em x=0, desce cruzando x=1 e tende a -infty, aproximando-se de y=0 quando xto-infty.

Resposta

(a) Domínio R; raiz única em x=1.
(b) Crescente em (-infty,0); decrescente em (0,infty).
(c) Máximo local em (0,2); sem mínimo local.
(d) Côncavo para cima em (-infty,-1); côncavo para baixo em (-1,infty).
(e) Ponto de inflexão em l(-1,tfrac4er).
(f) Assíntota horizontal y=0; sem verticais.
(g) Gráfico: cresce até (0,2), inflete em l(-1,4/er), decresce cruzando (1,0) e vai a -infty, aproximando-se de y=0 à esquerda.

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