Exercício 20 Calcule o volume dos sólidos dados. S=\{(x, y, z): 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1,0 \leq z \leq 3 x+2 y\}\
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido
S=\{(x,y,z): 0 \leq x \leq 1,\;0 \leq y \leq 1,\;0 \leq z \leq 3x+2y\}.
Informações dadas:
As coordenadas x e y variam no quadrado unitário: 0\leq x\leq1 e 0\leq y\leq1.
Para cada ponto (x,y) desse quadrado, a coordenada z varia de 0 até 3x+2y.
O que se pede: calcular o volume do sólido S.
Passo 2
Ideia-chave e justificativa (sem calcular ainda). O volume de um sólido descrito por 0\le z\le f(x,y) sobre uma região planar D é dado pela integral dupla
V=\iint_{D} f(x,y)\,dA,
porque para cada pequeno retângulo em D a “altura” do sólido é f(x,y) e o volume do paralelepípedo pequeno é altura vezes área da base. Aqui f(x,y)=3x+2y e D=[0,1]\times[0,1]. Outra forma equivalente é usar a integral tripla
V=\iiint_{S} 1\,dV.
Como f é contínua e os limites são retângulos, podemos aplicar Fubini e calcular como uma integral iterada.
Passo 3
Escrever a integral iterada com os limites explícitos. Vou integrar primeiro em z, depois em y e por fim em x:
Avaliar a integral mais interna (em z). Integrar 1 em relação a z sobre [0,3x+2y] dá simplesmente a extensão do intervalo:
\int_{z=0}^{3x+2y} 1\,dz = 3x+2y.
Portanto a integral tripla reduz-se à integral dupla sobre D:
V=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1} (3x+2y)\,dy\,dx.
Passo 5
Explicar a escolha da ordem de integração e continuidade. A função 3x+2y é polinomial (logo contínua) no quadrado unitário, então podemos integrar em qualquer ordem; escolhi integrar primeiro em y porque é direto.
Passo 6
Calcular a integral interna em y:
\int_{y=0}^{1} (3x+2y)\,dy.
Separando termos e integrando:
\int_{y=0}^{1} 3x\,dy = 3x\int_{0}^{1} dy = 3x\cdot 1 = 3x,
Interpretação rápida para checar: a área da base D é 1. A altura média de 3x+2y no quadrado é 3\cdot\frac{1}{2}+2\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}. Assim volume = base \times altura média =1\cdot\frac{5}{2}=\frac{5}{2}, que confere com o cálculo.