Determine o valor de
que torna exata a equação diferencial
e resolva a equação diferencial obtida.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar o valor de
que torna a equação diferencial exata. - Resolver a equação diferencial obtida com esse valor de
.
Informações dadas:
- A equação diferencial é
- Posso escrever essa equação na forma diferencial padrão
. Reescrevendo, obtemos
- Assim, as funções
e que aparecem na forma são
Passo 2
Condição de exatidão (teoria e significado):
Uma equação diferencial na forma é exata se existe uma função potencial
tal que
e
. Uma condição prática necessária e suficiente (quando
e
são suficientemente suaves) é
Uma equação diferencial na forma
Aqui
significa derivada parcial com
fixo, e
significa derivada parcial com
fixo.
Calculemos as derivadas parciais para a nossa
e
:
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
Agora impomos a condição de exatidão
:
Subtraindo
de ambos os lados,
Para pontos genéricos com
e
(a igualdade deve valer como identidade em uma região), podemos dividir por
e obter
Observação: quando
ou
a igualdade original também é satisfeita automaticamente (pois ambos os lados podem ser zero), mas a condição acima garante exatidão em uma vizinhança onde a equação faz sentido. Portanto o valor que torna a equação exata é
Passo 3
Agora que
, reescrevemos
e
explicitamente:
pois
.
Verificação rápida (opcional):
são iguais, confirmando exatidão.
Método para resolver (explicação didática):
Se a equação é exata existe com
e
. Para encontrar
procede-se integrando
em relação a
(tratando
como constante), obtendo
, onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
. Depois determina-se
impondo
.
Se a equação é exata existe
Passo 4
Integração de
em relação a
:
Trate
como constante durante a integração:
-
-
(porque é constante em relação a ).
Logo
onde
é desconhecida.
Agora calcule
e iguale a
para achar
:
Calcule termo a termo:
Portanto
Devemos ter
. Comparando os dois lados resulta
Logo
, constante.
Assim uma função potencial é
Passo 5
Solução geral (forma implícita): a solução da equação diferencial exata é dada por
ou seja
onde
é constante arbitrária.
Se preferir uma forma com sinal trocado e constante renomeada,
com
.
Interpretando: para
a equação torna-se exata e a família de curvas definidas por
é a solução geral.