Determine o valor de a que torna exata a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{6 x y^{3}+\cos (y)}{x \sin (y)-2 a x^{2} y^{2}}
e resolva a equação diferencial obtida.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar o valor de a que torna a equação diferencial exata.
  • Resolver a equação diferencial obtida com esse valor de a.
Informações dadas:
  • A equação diferencial é
\frac{d y}{d x}=\frac{6 x y^{3}+\cos (y)}{x \sin (y)-2 a x^{2} y^{2}}.
  • Posso escrever essa equação na forma diferencial padrão M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0. Reescrevendo, obtemos
-(6 x y^{3}+\cos y)\,dx + \bigl(x\sin y - 2a x^{2} y^{2}\bigr)\,dy = 0.
  • Assim, as funções M e N que aparecem na forma M\,dx+N\,dy=0 são
M(x,y) = -(6 x y^{3}+\cos y),\qquad N(x,y)=x\sin y - 2a x^{2} y^{2}.

Passo 2

Condição de exatidão (teoria e significado):
Uma equação diferencial na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x = M e \partial\Phi/\partial y = N. Uma condição prática necessária e suficiente (quando M e N são suficientemente suaves) é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Aqui \partial/\partial y significa derivada parcial com x fixo, e \partial/\partial x significa derivada parcial com y fixo.
Calculemos as derivadas parciais para a nossa M e N:
  • Derivada parcial de M em relação a y:
M(x,y)= -6x y^{3} - \cos y \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial M}{\partial y} = -6x\cdot 3 y^{2} - (-\sin y) = -18 x y^{2} + \sin y.
  • Derivada parcial de N em relação a x:
N(x,y)= x\sin y - 2a x^{2} y^{2} \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial N}{\partial x} = \sin y - 4a x y^{2}.
Agora impomos a condição de exatidão \partial M/\partial y=\partial N/\partial x:
-18 x y^{2} + \sin y \;=\; \sin y - 4a x y^{2}.
Subtraindo \sin y de ambos os lados,
-18 x y^{2} = -4a x y^{2}.
Para pontos genéricos com x\neq 0 e y\neq 0 (a igualdade deve valer como identidade em uma região), podemos dividir por x y^{2} e obter
-18 = -4a \quad\Rightarrow\quad a = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}.
Observação: quando x=0 ou y=0 a igualdade original também é satisfeita automaticamente (pois ambos os lados podem ser zero), mas a condição acima garante exatidão em uma vizinhança onde a equação faz sentido. Portanto o valor que torna a equação exata é
a=\frac{9}{2}.

Passo 3

Agora que a=\dfrac{9}{2}, reescrevemos M e N explicitamente:
M(x,y) = -6x y^{3} - \cos y,\qquad N(x,y) = x\sin y - 9 x^{2} y^{2},
pois -2a = -2\cdot \dfrac{9}{2} = -9.
Verificação rápida (opcional):
\frac{\partial M}{\partial y} = -18 x y^{2} + \sin y,\qquad \frac{\partial N}{\partial x} = \sin y - 18 x y^{2},
são iguais, confirmando exatidão.
Método para resolver (explicação didática):
Se a equação é exata existe \Phi(x,y) com \partial\Phi/\partial x=M e \partial\Phi/\partial y=N. Para encontrar \Phi procede-se integrando M em relação a x (tratando y como constante), obtendo \Phi(x,y)=\int M\,dx + h(y), onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y. Depois determina-se h(y) impondo \partial\Phi/\partial y=N.

Passo 4

Integração de M em relação a x:
\Phi(x,y)=\int\bigl(-6x y^{3} - \cos y\bigr)\,dx.
Trate y como constante durante a integração:
  • \int -6x y^{3}\,dx = -6 y^{3}\cdot \frac{x^{2}}{2} = -3 x^{2} y^{3}.
  • \int -\cos y\,dx = -x\cos y (porque \cos y é constante em relação a x).
Logo
\Phi(x,y) = -3 x^{2} y^{3} - x\cos y + h(y),
onde h(y) é desconhecida.
Agora calcule \partial\Phi/\partial y e iguale a N para achar h(y):
\frac{\partial\Phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-3 x^{2} y^{3}\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-x\cos y\bigr) + h'(y).
Calcule termo a termo:
  • \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-3 x^{2} y^{3}\bigr) = -3 x^{2}\cdot 3 y^{2} = -9 x^{2} y^{2}.
  • \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-x\cos y\bigr) = -x\cdot(-\sin y) = x\sin y.
Portanto
\frac{\partial\Phi}{\partial y} = -9 x^{2} y^{2} + x\sin y + h'(y).
Devemos ter \partial\Phi/\partial y = N = x\sin y - 9 x^{2} y^{2}. Comparando os dois lados resulta
-9 x^{2} y^{2} + x\sin y + h'(y) = x\sin y - 9 x^{2} y^{2} \quad\Rightarrow\quad h'(y)=0.
Logo h(y)=C, constante.
Assim uma função potencial é
\Phi(x,y) = -3 x^{2} y^{3} - x\cos y + C.

Passo 5

Solução geral (forma implícita): a solução da equação diferencial exata é dada por
\Phi(x,y)=\text{constante},
ou seja
-3 x^{2} y^{3} - x\cos y = C,
onde C é constante arbitrária.
Se preferir uma forma com sinal trocado e constante renomeada,
3 x^{2} y^{3} + x\cos y = C',
com C'=-C.
Interpretando: para a=\dfrac{9}{2} a equação torna-se exata e a família de curvas definidas por 3 x^{2} y^{3} + x\cos y = C' é a solução geral.

Resposta

a=\dfrac{9}{2}
-3 x^{2} y^{3} - x\cos y = C (solução implícita), ou equivalentemente 3 x^{2} y^{3} + x\cos y = C'.

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