Exercício 20 Calcule o volume dos sólidos dados.
S=\{(x, y, z): 1 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 1,0 \leq x+y-z \leq x+y+1\}\

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • O conjunto S é definido por estas desigualdades: 1 \leq x \leq 2,\qquad 0 \leq y \leq 1,\qquad 0 \leq x+y-z \leq x+y+1.
  • A pergunta é: calcular o volume do sólido S.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os intervalos de x e y são fixos e independentes: x varia entre 1 e 2, y varia entre 0 e 1.
  • A terceira desigualdade envolve z e relaciona z com x+y. A resolução começa por manipular essa desigualdade para obter limites de z em função de x e y.

Passo 2

Interpretar a desigualdade envolvendo z para achar os limites em z.
A desigualdade é
0 \leq x+y-z \leq x+y+1.
Vamos separar em duas desigualdades e manipulá-las:
  1. 0 \leq x+y-z. Subtraindo x+y dos dois lados dá
-z \geq - (x+y) \quad\Rightarrow\quad z \leq x+y.
(Explicação curta: se 0 \leq A com A=x+y-z, então x+y-z\ge0 e isolando z obtemos z\le x+y.)
  1. x+y-z \leq x+y+1. Subtraindo x+y dos dois lados fica
-z \leq 1 \quad\Rightarrow\quad z \geq -1.
(Explicação: -z \le 1 implica, ao multiplicar por -1 e inverter a desigualdade, z\ge -1.)
Juntando as duas, para cada (x,y) autorizado pelo enunciado, z deve satisfazer
-1 \leq z \leq x+y.
Observação importante: para que o intervalo em z faça sentido precisamos que -1 \le x+y. Como x\in[1,2] e y\in[0,1], temos x+y\in[1,3], logo sempre x+y\ge1> -1. Portanto para todos os (x,y) permitidos o intervalo em z é não vazio.

Passo 3

Escolher a forma de calcular o volume e montar a integral.
Ideia geométrica / método: para cada ponto (x,y) no retângulo R=\{(x,y):1\le x\le2,\;0\le y\le1\} o segmento vertical em z que pertence a S vai de z=-1 até z=x+y. O comprimento desse segmento (ou “altura” do sólido acima do ponto (x,y)) é
\text{altura}(x,y)=\bigl(x+y\bigr)-(-1)=x+y+1.
Pelo Teorema de Fubini, o volume é a integral dupla da altura sobre o retângulo R:
V=\iint_{R} \bigl(x+y+1\bigr)\,dA,
onde dA=dy\,dx (ou dx\,dy). Vou escolher a ordem dy\,dx porque os limites em y são simples constantes.
Portanto configuramos a integral:
V=\int_{x=1}^{2}\int_{y=0}^{1} \bigl(x+y+1\bigr)\,dy\,dx.
Breve revisão didática do que isso significa:
  • Integrar em y primeiro: para cada x fixo, somamos as contribuições das alturas ao longo de y\in[0,1].
  • Depois integrar em x: somamos essas áreas para x variando de 1 a 2.
    Essa é a maneira padrão de calcular volumes de sólidos com “alturas” dependentes de (x,y).

Passo 4

Calcular a integral interna em y.
Vamos calcular
\int_{y=0}^{1} \bigl(x+y+1\bigr)\,dy.
Trata-se de integrar termo a termo. Lembre que ao integrar em y a variável x é tratada como constante.
  • Integral de x em y: \displaystyle \int_{0}^{1} x\,dy = x\cdot y\Big|_{0}^{1}=x.
  • Integral de y: \displaystyle \int_{0}^{1} y\,dy = \frac{y^{2}}{2}\Big|_{0}^{1}=\frac{1}{2}.
  • Integral de 1: \displaystyle \int_{0}^{1} 1\,dy = y\Big|_{0}^{1}=1.
Somando:
\int_{0}^{1} \bigl(x+y+1\bigr)\,dy = x + \frac{1}{2} + 1 = x + \frac{3}{2}.
Portanto a integral dupla reduz-se a uma integral simples em x:
V=\int_{x=1}^{2} \left(x + \frac{3}{2}\right)\,dx.

Passo 5

Calcular a integral em x e obter o volume.
Integrando termo a termo:
  • Integral de x: \displaystyle \int_{1}^{2} x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\Big|_{1}^{2} = \frac{4}{2}-\frac{1}{2} = 2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
  • Integral de \tfrac{3}{2}: \displaystyle \int_{1}^{2} \frac{3}{2}\,dx = \frac{3}{2}\bigl(x\bigr)\Big|_{1}^{2} = \frac{3}{2}(2-1)=\frac{3}{2}.
Somando as duas contribuições:
V=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3.
(Fazendo numa única expressão:
\int_{1}^{2}\left(x+\frac{3}{2}\right)dx=\left[\frac{x^{2}}{2}+\frac{3x}{2}\right]_{1}^{2} =\left(\frac{4}{2}+\frac{6}{2}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\right)=5-2=3.)

Passo 6

Conclusão e interpretação final — incentivo rápido.
  • O volume do sólido é 3.
  • Intuitivamente: sobre o retângulo 1\le x\le2,\;0\le y\le1 a “altura” em z é x+y+1. Integrando essa altura sobre a base deu 3. Mandou bem por ter trazido o problema — essa técnica de ver o volume como integral da altura é super útil e aparece direto na prova. Respira fundo, prática leva à fluência!

Resposta

3

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