Exercício 20. (D. 4.3, ex.6) Use a transformada de Fourier para resolver o problema:
Passo 1
O enunciado dá a equação de difusão com termo de crescimento
e condição inicial
. O método é aplicar a transformada de Fourier em
, pois ela transforma derivadas espaciais em multiplicação por
.
Passo 2
Definimos a transformada de Fourier e sua inversa por
Aplicando
em ambos os lados da PDE e usando
, obtemos uma ODE em
.
Passo 3
Ao transformar a equação, vem
Além disso a condição inicial dá
.
Passo 4
A ODE é do tipo
com
. A solução é
Passo 5
Agora invertemos a transformada de Fourier:
Reconhecemos essa integral como convolução de
com o núcleo gaussiano
multiplicado por
. Logo