Exercício 20. (D. 4.3, ex.6) Use a transformada de Fourier para resolver o problema:
c partial upartial t(t, x)=k partial^2 upartial x^2(t, x)+b u(t, x), x in R, t>0 u(0, x)=f(x), x in R

Passo 1

O enunciado dá a equação de difusão com termo de crescimento
partial upartial t(t,x)=k,partial^2 upartial x^2(t,x)+b,u(t,x), t>0,;xinR,
e condição inicial u(0,x)=f(x). O método é aplicar a transformada de Fourier em x, pois ela transforma derivadas espaciais em multiplicação por -xi^2.

Passo 2

Definimos a transformada de Fourier e sua inversa por
widehatu(t,xi)=Fxu(t,x)(xi) =integral-infty^inftyu(t,x),e^-ixi x,dx,
u(t,x)=Fxi^-1widehatu(t,xi)(x) =12piintegral-infty^inftywidehatu(t,xi),e^ixi x,dxi
Aplicando Fx em ambos os lados da PDE e usando Fxpartialx^2u=-xi^2widehatu, obtemos uma ODE em t.

Passo 3

Ao transformar a equação, vem
partialpartial twidehatu(t,xi) = k,(-xi^2),widehatu(t,xi)+b,widehatu(t,xi) =l(-kxi^2+br)widehatu(t,xi)
Além disso a condição inicial dá widehatu(0,xi)=widehatf(xi).

Passo 4

A ODE é do tipo partialtwidehatu=lambda(xi)widehatu com lambda(xi)=-kxi^2+b. A solução é
widehatu(t,xi) =widehatf(xi),e^lambda(xi),t =widehatf(xi),e^l(b-kxi^2r)t

Passo 5

Agora invertemos a transformada de Fourier:
u(t,x) =12piintegral-infty^inftywidehatf(xi),e^(b-kxi^2)t,e^ixi x,dxi
Reconhecemos essa integral como convolução de f com o núcleo gaussiano
Gt(x)=1raiz4pi k t exp!l(-x^24k tr),
multiplicado por e^bt. Logo
u(t,x)=e^b t,(Gt * f)(x) =e^b tintegral-infty^infty 1raiz4pi k t exp!l(-(x-y)^24k tr),f(y),dy

Resposta

u(t,x) =e^b tintegral-infty^infty 1raiz4pi k t exp!l(-(x-y)^24k tr),f(y),dy

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