Exercício 20. (D.K. ex. 4.1 e 4.2) Prove que:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos, no sentido de distribuições, que
O conteúdo que vamos usar é a definição de derivada de uma distribuição
via dualidade: para toda função teste
,
além de dividir
nos ramos
e
e usar a função sinal
]
Passo 2
Calculamos primeiro
. Por definição,
e separamos em dois integrandos:
Em cada intervalo integramos por partes, lembrando que
tem suporte compacto (logo
):
Somando e trocando o sinal,
Isso prova que, como distribuição,
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada:
De novo separamos em
e
:
Tomando o sinal,
e isso é exatamente a ação da distribuição
sobre
.
Resposta
Portanto, no sentido de distribuições,