Exercício 20. (D.K. ex. 4.1 e 4.2) Prove que:
d^2d x^2|x|=2 de<a0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, no sentido de distribuições, que
O conteúdo que vamos usar é a definição de derivada de uma distribuição via dualidade: para toda função teste ,
além de dividir nos ramos e e usar a função sinal
]

Passo 2

Calculamos primeiro . Por definição,
e separamos em dois integrandos:
Em cada intervalo integramos por partes, lembrando que tem suporte compacto (logo ):
Somando e trocando o sinal,
Isso prova que, como distribuição,

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada:
De novo separamos em e :
Tomando o sinal,
e isso é exatamente a ação da distribuição sobre .

Resposta

Portanto, no sentido de distribuições,
d^2dx^2,|x| ;=;2,de<a0

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