Em seguida, com um polinômio p de grau m>0 tal que p(lambda)=0, pergunta se p(partial)f=0 na categoria de distribuições e qual é a ordem de f. Para resolver usaremos: (i) a representação f(x)=e^lambda xH(x), onde H é a função de Heaviside; (ii) a regra de Leibniz para derivadas de produtos em distribuições; (iii) a definição de polinômio de um operador diferencial; (iv) a noção de ordem de uma distribuição.
Passo 2
Mostramos a fórmula por indução em k. Para k=0 é trivial: partial^0f=f. Suponha válida para k. Então
Como p(lambda)=sumj=0^m ajlambda^j=0, o termo proporcional a f desaparece, mas em geral sumj=r+1^m ajlambda^j-1-rneq0. Portanto
p(partial)f =sumr=0^m-1br,de<a0^(r),
com certos coeficientes br, e isto não é a distribuição zero salvo em casos especiais (por exemplo se também p(0)=0). Logo não é verdade em geral que p(partial)f=0.
Passo 4
Finalmente, f é definida por uma função localmente integrável, logo como distribuição é de ordem zero, porque basta estimar