Exercício 21. (D.K ex. 4.4) Seja lambda in C e f: R C a função definida como
f(x)=c e^lambda x, x>0 0, x <= 0
Prove que as derivadas de f satisfazem:
d^kd x^k f=lambda^k f+sumj=0^k-1 lambda^k-1-j d^jd x^j(de<a0), k in N0
Seja p um polinômio de grau m>0 tal que p(lambda)=0. É verdade que p(partial) f=0 ? Calcule a ordem de f.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= e^lambda x,& x>0, 0,& x<=0,
e pede para mostrar, em sentido de distribuições, que para todo kinN0
d^kdx^kf =lambda^k f+sumj=0^k-1lambda^,k-1-jd^jdx^jl(de<a0r)
Em seguida, com um polinômio p de grau m>0 tal que p(lambda)=0, pergunta se p(partial)f=0 na categoria de distribuições e qual é a ordem de f. Para resolver usaremos: (i) a representação f(x)=e^lambda xH(x), onde H é a função de Heaviside; (ii) a regra de Leibniz para derivadas de produtos em distribuições; (iii) a definição de polinômio de um operador diferencial; (iv) a noção de ordem de uma distribuição.

Passo 2

Mostramos a fórmula por indução em k. Para k=0 é trivial: partial^0f=f. Suponha válida para k. Então
partial^k+1f =partiall(partial^kfr) =partiall(lambda^k f+sumj=0^k-1lambda^k-1-j,de<a0^(j)r)
Como partial é linear e partial,de<a0^(j)=de<a0^(j+1), fica
partial^k+1f =lambda^k,partial f +sumj=0^k-1lambda^,k-1-j,de<a0^(j+1)
Mas partial f=partial(e^lambda xH)=lambda e^lambda xH+e^lambda xde<a0, i.e.
partial f=lambda f+de<a0,
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partial^k+1f =lambda^k(lambda f+de<a0) +sumj=1^klambda^,k-j,de<a0^(j) =lambda^,k+1f +sumj=0^klambda^,k-j,de<a0^(j),
que é exatamente o caso k+1. Isso completa a indução.

Passo 3

Agora tome p(z)=sumj=0^m ajz^j com p(lambda)=0. Então por linearidade
p(partial)f =sumj=0^m aj,partial^j f =sumj=0^m ajl(lambda^j f+sumr=0^j-1lambda^,j-1-rde<a0^(r)r)
Reagrupando os termos em f e em de<a0^(r), obtemos
p(partial)f =l(sumj=0^m ajlambda^jr)f +sumr=0^m-1l(sumj=r+1^m ajlambda^,j-1-rr)de<a0^(r)
Como p(lambda)=sumj=0^m ajlambda^j=0, o termo proporcional a f desaparece, mas em geral
sumj=r+1^m ajlambda^j-1-rneq0. Portanto
p(partial)f =sumr=0^m-1br,de<a0^(r),
com certos coeficientes br, e isto não é a distribuição zero salvo em casos especiais (por exemplo se também p(0)=0). Logo não é verdade em geral que p(partial)f=0.

Passo 4

Finalmente, f é definida por uma função localmente integrável, logo como distribuição é de ordem zero, porque basta estimar
l|lang<= f,varphirang<=r| =l|integral Rf(x),varphi(x),dxr| <=|varphi|L^inftyintegral0^infty |e^lambda x|,dx
em cada compacto. Portanto a menor ordem N na definição de ordem de distribuição é N=0.

Resposta

A fórmula
d^kdx^kf =lambda^kf +sumj=0^k-1lambda^k-1-j,de<a0^(j)
é demonstrada por indução usando partial(e^lambda xH)=lambda f+de<a0.
Em geral, para p(z)=sumj=0^m ajz^j com p(lambda)=0,
p(partial)f =sumr=0^m-1br,de<a0^(r) neq0
Por fim, f como distribuição é de ordem zero.

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