Exercício 20. Dados os pontos M=(a, 0) e N=(0, a), determinar P de modo que o triângulo M N P seja equilátero.
Passo 1
O enunciado nos dá os pontos \,M=(a,0)\, e \,N=(0,a)\, e pede para determinar os pontos P tais que o triângulo MNP seja equilátero.
Informações importantes extraídas do enunciado:
Coordenadas de M: \,M=(a,0)\,.
Coordenadas de N: \,N=(0,a)\,.
Queremos \,P=(x,y)\, (as coordenadas de P) tais que os três lados tenham o mesmo comprimento.
Observação útil: existem, em geral, duas posições possíveis para P — uma “para cima” da reta MN e outra “para baixo” — que produzem dois triângulos equiláteros congruentes.
Passo 2
Plano de solução (sem resolver ainda): vamos usar uma construção geométrica simples para o vértice do triângulo equilátero construído sobre o segmento MN:
calcular o comprimento do lado s=|MN|;
encontrar o ponto médio de MN;
saber a altura h de um triângulo equilátero de lado s (fórmula);
deslocar o ponto médio na direção perpendicular a MN por distância h (com os dois sinais) para obter as duas soluções para P.
Passo 3
Calcular o vetor \overrightarrow{MN} e o comprimento s=|MN|.
Lembrar a fórmula da altura de um triângulo equilátero: se o lado vale \,s, então a altura vale \,h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}s. Explicando rapidamente por que: ao traçar a altura num triângulo equilátero ela divide o triângulo em dois triângulos retângulos 30°–60°–90°, cuja hipotenusa é s e a altura é s\sin 60^\circ=s\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}.
Aplicando ao nosso caso, com s=a\sqrt{2}:
Encontrar uma direção unitária perpendicular a \overrightarrow{MN}.
Temos \overrightarrow{MN}=a(-1,1). Um vetor perpendicular a (-1,1) é (1,1) (pois (-1,1)\cdot(1,1)=-1+1=0). O comprimento de (1,1) é \sqrt{2}, então a direção unitária perpendicular é
\widehat{u}=\frac{(1,1)}{\sqrt{2}}.
Multiplicando a distância h por essa direção unitária obtemos o vetor deslocamento perpendicular de magnitude h:
Verificação rápida (ideia, sem contas longas): a construção foi feita usando o ponto médio e a altura correta h perpendicular à base; assim, no triângulo retângulo formado pela metade da base (comprimento s/2) e a altura h tem-se
logo a distância do novo vértice P a cada extremidade M e N é s, portanto o triângulo é equilátero. Isso confirma que as coordenadas encontradas estão corretas.