Exercício 20. Dados os pontos M=(a, 0) e N=(0, a), determinar P de modo que o triângulo M N P seja equilátero.

Passo 1

O enunciado nos dá os pontos \,M=(a,0)\, e \,N=(0,a)\, e pede para determinar os pontos P tais que o triângulo MNP seja equilátero.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • Coordenadas de M: \,M=(a,0)\,.
  • Coordenadas de N: \,N=(0,a)\,.
  • Queremos \,P=(x,y)\, (as coordenadas de P) tais que os três lados tenham o mesmo comprimento.
    Observação útil: existem, em geral, duas posições possíveis para P — uma “para cima” da reta MN e outra “para baixo” — que produzem dois triângulos equiláteros congruentes.

Passo 2

Plano de solução (sem resolver ainda): vamos usar uma construção geométrica simples para o vértice do triângulo equilátero construído sobre o segmento MN:
  1. calcular o comprimento do lado s=|MN|;
  2. encontrar o ponto médio de MN;
  3. saber a altura h de um triângulo equilátero de lado s (fórmula);
  4. deslocar o ponto médio na direção perpendicular a MN por distância h (com os dois sinais) para obter as duas soluções para P.

Passo 3

Calcular o vetor \overrightarrow{MN} e o comprimento s=|MN|.
\overrightarrow{MN}=N-M=(0-a,\;a-0)=(-a,\;a)=a(-1,1).
O comprimento do segmento MN é
s=|\overrightarrow{MN}|= \sqrt{(-a)^2 + a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}.

Passo 4

Calcular o ponto médio Q de MN. (O ponto médio é o ponto médio dos dois vértices; é onde a altura do triângulo equilátero incide no segmento base.)
Q=\left(\frac{a+0}{2},\;\frac{0+a}{2}\right)=\left(\frac{a}{2},\;\frac{a}{2}\right).

Passo 5

Lembrar a fórmula da altura de um triângulo equilátero: se o lado vale \,s, então a altura vale \,h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}s. Explicando rapidamente por que: ao traçar a altura num triângulo equilátero ela divide o triângulo em dois triângulos retângulos 30°–60°–90°, cuja hipotenusa é s e a altura é s\sin 60^\circ=s\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}.
Aplicando ao nosso caso, com s=a\sqrt{2}:
h=\frac{\sqrt{3}}{2}\,s=\frac{\sqrt{3}}{2}\,a\sqrt{2}=a\frac{\sqrt{6}}{2}.

Passo 6

Encontrar uma direção unitária perpendicular a \overrightarrow{MN}.
Temos \overrightarrow{MN}=a(-1,1). Um vetor perpendicular a (-1,1) é (1,1) (pois (-1,1)\cdot(1,1)=-1+1=0). O comprimento de (1,1) é \sqrt{2}, então a direção unitária perpendicular é
\widehat{u}=\frac{(1,1)}{\sqrt{2}}.
Multiplicando a distância h por essa direção unitária obtemos o vetor deslocamento perpendicular de magnitude h:
h\,\widehat{u}=\left(\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)\cdot\frac{(1,1)}{\sqrt{2}} = a\left(\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}\right)(1,1).
Simplificando \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}, obtemos
h\,\widehat{u}=a\frac{\sqrt{3}}{2}(1,1).

Passo 7

Construir os dois possíveis pontos P deslocando o ponto médio Q por \pm h\widehat{u}:
P=Q \pm h\,\widehat{u} =\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right)\pm a\frac{\sqrt{3}}{2}(1,1).
Ou seja, coordenada a coordenada:
P=\left(\frac{a}{2}\pm \frac{a\sqrt{3}}{2},\;\frac{a}{2}\pm \frac{a\sqrt{3}}{2}\right).

Passo 8

Fatorando a e escrevendo de forma compacta:
P=a\left(\frac{1\pm\sqrt{3}}{2},\;\frac{1\pm\sqrt{3}}{2}\right).
Essas são as duas soluções (sinal + e sinal -).

Passo 9

Verificação rápida (ideia, sem contas longas): a construção foi feita usando o ponto médio e a altura correta h perpendicular à base; assim, no triângulo retângulo formado pela metade da base (comprimento s/2) e a altura h tem-se
\sqrt{\left(\frac{s}{2}\right)^2 + h^2}=\sqrt{\frac{s^2}{4}+\frac{3s^2}{4}}=\sqrt{s^2}=s,
logo a distância do novo vértice P a cada extremidade M e N é s, portanto o triângulo é equilátero. Isso confirma que as coordenadas encontradas estão corretas.

Resposta

P=a\left(\dfrac{1+\sqrt{3}}{2},\;\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right)
P=a\left(\dfrac{1-\sqrt{3}}{2},\;\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\right)

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