Exercício 16. Prove que o triângulo cujos vértices são
e
é retângulo.
Passo 1
O enunciado dá os três vértices do triângulo:
O que pede: provar que o triângulo formado por esses pontos é retângulo (tem um ângulo de
).
Passo 2
Estratégia: trabalhar com vetores que representam os lados do triângulo e usar uma condição algébrica de perpendicularidade. Primeiro vou explicar o que é um vetor entre dois pontos e como representá‑lo de forma bem direta.
Se
e
, o vetor que vai de
para
é
Isso significa que subtrai‑se coordenada a coordenada. Esse vetor representa deslocamento no plano: quanto anda em
e quanto anda em
para ir de
a
.
Passo 3
Vou calcular os vetores que saem do vértice
para os outros dois vértices, pois o ângulo reto poderia estar em qualquer vértice; escolhi testar em
.
Calcular
:
Calcular
:
Expliquei passo a passo: subtraiu‑se as coordenadas de
das correspondentes de
e de
.
Passo 4
Agora a condição de perpendicularidade (produto interno / dot product). Para dois vetores
e
define‑se o produto escalar
Uma propriedade fundamental é que
onde
é o ângulo entre
e
. Assim,
se, e somente se,
, ou seja,
: os vetores são perpendiculares. Logo, basta mostrar que o produto escalar de dois lados que se encontram num vértice é zero.
Passo 5
Calcular o produto escalar
. Usando
e
,
Como o produto escalar é zero, concluímos que
é perpendicular a
. Logo, o ângulo no vértice
é reto e o triângulo é retângulo.
Passo 6
Verificação alternativa (Pitagoras) — aula rápida sobre distância: a distância entre
e
é
que vem direto do Teorema de Pitágoras. Para reforçar, calculemos os quadrados dos comprimentos dos lados:
Observa‑se que
ou seja, os quadrados dos comprimentos satisfazem o Teorema de Pitágoras com hipotenusa
, confirmando que o ângulo reto está em
.
Resposta
O triângulo é retângulo em
.