Exercício 16. Prove que o triângulo cujos vértices são (2,2),(-4,-6) e (4,-12) é retângulo.

Passo 1

O enunciado dá os três vértices do triângulo:
A=(2,2),\qquad B=(-4,-6),\qquad C=(4,-12).
O que pede: provar que o triângulo formado por esses pontos é retângulo (tem um ângulo de 90^\circ).

Passo 2

Estratégia: trabalhar com vetores que representam os lados do triângulo e usar uma condição algébrica de perpendicularidade. Primeiro vou explicar o que é um vetor entre dois pontos e como representá‑lo de forma bem direta.
Se P=(x_1,y_1) e Q=(x_2,y_2), o vetor que vai de P para Q é
\vec{PQ} = (x_2-x_1,\;y_2-y_1).
Isso significa que subtrai‑se coordenada a coordenada. Esse vetor representa deslocamento no plano: quanto anda em x e quanto anda em y para ir de P a Q.

Passo 3

Vou calcular os vetores que saem do vértice B para os outros dois vértices, pois o ângulo reto poderia estar em qualquer vértice; escolhi testar em B.
Calcular \vec{BA}:
\vec{BA}=A-B=(2-(-4),\;2-(-6))=(6,\;8).
Calcular \vec{BC}:
\vec{BC}=C-B=(4-(-4),\;-12-(-6))=(8,\;-6).
Expliquei passo a passo: subtraiu‑se as coordenadas de B das correspondentes de A e de C.

Passo 4

Agora a condição de perpendicularidade (produto interno / dot product). Para dois vetores \vec{u}=(u_1,u_2) e \vec{v}=(v_1,v_2) define‑se o produto escalar
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2.
Uma propriedade fundamental é que
\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. Assim, \vec{u}\cdot\vec{v}=0 se, e somente se, \cos\theta=0, ou seja, \theta=90^\circ: os vetores são perpendiculares. Logo, basta mostrar que o produto escalar de dois lados que se encontram num vértice é zero.

Passo 5

Calcular o produto escalar \vec{BA}\cdot\vec{BC}. Usando \vec{BA}=(6,8) e \vec{BC}=(8,-6),
\vec{BA}\cdot\vec{BC}=6\cdot8 + 8\cdot(-6)=48-48=0.
Como o produto escalar é zero, concluímos que \vec{BA} é perpendicular a \vec{BC}. Logo, o ângulo no vértice B é reto e o triângulo é retângulo.

Passo 6

Verificação alternativa (Pitagoras) — aula rápida sobre distância: a distância entre P=(x_1,y_1) e Q=(x_2,y_2) é
d(P,Q)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2},
que vem direto do Teorema de Pitágoras. Para reforçar, calculemos os quadrados dos comprimentos dos lados:
\|\vec{BA}\|^2 = 6^2+8^2=36+64=100.
\|\vec{BC}\|^2 = 8^2+(-6)^2=64+36=100.
\|\vec{AC}\|^2 = (4-2)^2+(-12-2)^2=2^2+(-14)^2=4+196=200.
Observa‑se que
\|\vec{BA}\|^2+\|\vec{BC}\|^2=100+100=200=\|\vec{AC}\|^2,
ou seja, os quadrados dos comprimentos satisfazem o Teorema de Pitágoras com hipotenusa AC, confirmando que o ângulo reto está em B.

Resposta

O triângulo é retângulo em (-4,-6).

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