Exercício 33. Mostre que a área do triângulo determinado pelos pontos \left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right) e\left(x_{3}, y_{3}\right) é \frac{|D|}{2}, onde
O enunciado dá as coordenadas dos três vértices do triângulo: \left(x_{1},y_{1}\right), \left(x_{2},y_{2}\right) e \left(x_{3},y_{3}\right). Também define
é o chamado determinante 2×2. Geometricamente vale
\text{área do paralelogramo gerado por }u\text{ e }v = \big|u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}\big|.á
Explicação curta e intuitiva: a área do paralelogramo é base vezes altura. Tomando u como base, a altura é a componente de v perpendicular a u; avaliando essa componente chega-se exatamente à expressão |u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}|. Em consequência, a área do triângulo formado por 0,u,v (metade do paralelogramo) é
\text{área do triângulo }(0,u,v)=\tfrac{1}{2}\big|u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}\big|.áâ]
Passo 3
Agora aplicamos isso ao nosso triângulo com vértices \left(x_{1},y_{1}\right), \left(x_{2},y_{2}\right), \left(x_{3},y_{3}\right). Escolhemos a transformação que leva \left(x_{1},y_{1}\right) para a origem: consideramos os vetores a partir de \left(x_{1},y_{1}\right) até os outros vértices,