Exercício 33. Mostre que a área do triângulo determinado pelos pontos \left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right) e\left(x_{3}, y_{3}\right) é \frac{|D|}{2}, onde
D=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos três vértices do triângulo: \left(x_{1},y_{1}\right), \left(x_{2},y_{2}\right) e \left(x_{3},y_{3}\right). Também define
D=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \end{array}\right|.
O que pede é mostrar que a área do triângulo determinado por esses três pontos é \dfrac{|D|}{2}.

Passo 2

Primeiro precisamos de uma ferramenta útil: a relação entre determinante 2\times2 e área de paralelogramo/triângulo no plano.
Se u=(u_{1},u_{2}) e v=(v_{1},v_{2}) são vetores no plano, o determinante
\det\begin{pmatrix}u_{1} & v_{1}\\[4pt] u_{2} & v_{2}\end{pmatrix} = u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}
é o chamado determinante 2×2. Geometricamente vale
\text{área do paralelogramo gerado por }u\text{ e }v = \big|u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}\big|.á
Explicação curta e intuitiva: a área do paralelogramo é base vezes altura. Tomando u como base, a altura é a componente de v perpendicular a u; avaliando essa componente chega-se exatamente à expressão |u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}|. Em consequência, a área do triângulo formado por 0,u,v (metade do paralelogramo) é
\text{área do triângulo }(0,u,v)=\tfrac{1}{2}\big|u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}\big|.áâ]

Passo 3

Agora aplicamos isso ao nosso triângulo com vértices \left(x_{1},y_{1}\right), \left(x_{2},y_{2}\right), \left(x_{3},y_{3}\right). Escolhemos a transformação que leva \left(x_{1},y_{1}\right) para a origem: consideramos os vetores a partir de \left(x_{1},y_{1}\right) até os outros vértices,
u=\big(x_{2}-x_{1},\,y_{2}-y_{1}\big),\qquad v=\big(x_{3}-x_{1},\,y_{3}-y_{1}\big).
O triângulo original tem a mesma área do triângulo com vértices 0,u,v. Pela propriedade do passo anterior,
\text{área do triângulo}=\tfrac{1}{2}\big| (x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1})-(x_{3}-x_{1})(y_{2}-y_{1})\big|.áâ
Em forma de determinante 2\times2,
\text{área do triângulo}=\tfrac{1}{2}\left|\det\begin{pmatrix} x_{2}-x_{1} & x_{3}-x_{1} \\[4pt] y_{2}-y_{1} & y_{3}-y_{1} \end{pmatrix}\right|.áâ]

Passo 4

Agora mostramos que o determinante 2\times2 acima é exatamente o valor de D definido no enunciado.
Escrevendo D como determinante por colunas (cada coluna é (1,x_i,y_i)^{T}):
D=\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] x_{1} & x_{2} & x_{3}\\[4pt] y_{1} & y_{2} & y_{3} \end{pmatrix}.
Usamos a propriedade dos determinantes: adicionar a uma coluna um múltiplo de outra coluna não altera o valor do determinante. Aplicamos a operação
C_{2}\leftarrow C_{2}-C_{1},\qquad C_{3}\leftarrow C_{3}-C_{1},
que não altera D. O determinante passa a ser
D=\det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] x_{1} & x_{2}-x_{1} & x_{3}-x_{1}\\[4pt] y_{1} & y_{2}-y_{1} & y_{3}-y_{1} \end{pmatrix}.
Expandindo esse determinante pela primeira linha (cofator sobre o elemento 1 da primeira coluna), obtemos o determinante do menor 2\times2:
D=\det\begin{pmatrix} x_{2}-x_{1} & x_{3}-x_{1} \\[4pt] y_{2}-y_{1} & y_{3}-y_{1} \end{pmatrix}.
Portanto
D=(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1})-(x_{3}-x_{1})(y_{2}-y_{1}).]

Passo 5

Juntando o resultado do passo 3 com o do passo 4, concluímos que a área do triângulo é
\text{área do triângulo}=\tfrac{1}{2}\big|D\big|.áâ

Resposta

\displaystyle \text{Área}=\dfrac{|D|}{2}Á

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