Exercício 3. Tomando os sistemas \Sigma e \Gamma das questões anteriores, se um ponto X=(a, b)_{\Sigma}=(x, y)_{\Gamma}, determine relação entre a, b, x e y. Procure apresentar essa relação de maneira matricial.

Passo 1

O enunciado diz que existe um ponto X que tem coordenadas em dois sistemas de referência diferentes: X=(a,b)_{\Sigma} e também X=(x,y)_{\Gamma}. O pedido é: determinar uma relação entre a,b,x,y apresentada de maneira matricial.
Informações que tenho:
  • O enunciado não me deu explicitamente quais são as bases (ou vetores) que definem os sistemas \Sigma e \Gamma.
  • Só foi dada a igualdade de representações coordenadas do mesmo ponto X.
O que falta e impossibilita um número concreto:
  • Não foram fornecidos os vetores-base de \Sigma e de \Gamma (por exemplo, quais são u_1,u_2 em \Sigma e v_1,v_2 em \Gamma). Sem esses vetores não dá para calcular matrizes numéricas; porém dá para escrever a relação matricial geral e explicar como obter a matriz de mudança de coordenadas se esses vetores forem fornecidos.

Passo 2

Vou introduzir notação clara (isso é importante na prova):
  • Seja a base do sistema \Sigma denotada por \{u_1,u_2\}. Aqui u_1 e u_2 são vetores em \mathbb{R}^2 (ou no espaço apropriado).
  • Seja a base do sistema \Gamma denotada por \{v_1,v_2\}.
    Por definição de coordenadas, a igualdade entre as duas representações de X significa que
a\,u_1 + b\,u_2 = x\,v_1 + y\,v_2.
Essa é a equação vetorial fundamental que vamos transformar em forma matricial.

Passo 3

Agora passo a transformar a escrita vetorial em escrita matricial usando matrizes cujas colunas são os vetores das bases (padrão em álgebra linear).
Defina as matrizes
U=\begin{pmatrix} | & | \\\ u_1 & u_2 \\\ | & | \end{pmatrix}, \qquad V=\begin{pmatrix} | & | \\\ v_1 & v_2 \\\ | & | \end{pmatrix},
onde cada coluna é o vetor correspondente expresso em algum sistema de referência comum (por exemplo, as coordenadas cartesianas padrão). Então a combinação linear fica
U\begin{pmatrix} a \\[4pt] b \end{pmatrix} = V\begin{pmatrix} x \\[4pt] y \end{pmatrix}.
Expliquei: U\begin{pmatrix} a\\\ b\end{pmatrix} é o vetor a u_1 + b u_2 escrito nas coordenadas padrão; análogo para V.]

Passo 4

Da igualdade matricial do passo anterior, isolamos o vetor \begin{pmatrix} x\\\ y\end{pmatrix}. Supondo que \{v_1,v_2\} é base (logo V é invertível), temos
\begin{pmatrix} x \\[4pt] y \end{pmatrix} = V^{-1} U \begin{pmatrix} a \\[4pt] b \end{pmatrix}.
Essa é a forma matricial geral que relaciona as coordenadas de X nos dois sistemas.]

Passo 5

Interpretação prática (como calcular na prova se derem as bases numéricas):
  • Se o enunciado der u_1=(u_{11},u_{21}), u_2=(u_{12},u_{22}) e v_1=(v_{11},v_{21}), v_2=(v_{12},v_{22}), então
U=\begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} \\[4pt] u_{21} & u_{22} \end{pmatrix}, \qquad V=\begin{pmatrix} v_{11} & v_{12} \\[4pt] v_{21} & v_{22} \end{pmatrix},
e a matriz de mudança de coordenadas de \Sigma para \Gamma é
P:=V^{-1}U.
Então basta calcular V^{-1} (pelo método usual: adjunta sobre determinante ou fórmulas de inversão de 2\times2) e multiplicar por U.]

Passo 6

Outra visão útil para a prova (colunas de P):
  • A coluna j da matriz P é justamente as coordenadas em \Gamma do vetor u_j. Em símbolos: se
u_j = p_{1j}\,v_1 + p_{2j}\,v_2,
então
P=\begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} \\[4pt] p_{21} & p_{22} \end{pmatrix},
ou seja, expressa cada vetor da base \Sigma em coordenadas da base \Gamma. Isso dá um procedimento alternativo: para cada u_j resolva o sistema linear para os coeficientes p_{1j},p_{2j}.]

Passo 7

Observações importantes (o que checar na prova):
  • É necessário que \{v_1,v_2\} e \{u_1,u_2\} sejam bases (lin. independentes). Se alguma das matrizes U ou V não for invertível, a fórmula acima quebra (não existe mudança de base única nesse caso).
  • A relação inversa também é imediata:
\begin{pmatrix} a \\[4pt] b \end{pmatrix} = (V^{-1}U)^{-1} \begin{pmatrix} x \\[4pt] y \end{pmatrix} = U^{-1}V \begin{pmatrix} x \\[4pt] y \end{pmatrix},
desde que U seja invertível.]

Passo 8

Exemplo concreto (para fixar a ideia):
  • Suponha \Sigma é a base padrão u_1=(1,0), u_2=(0,1) e \Gamma é a base rotacionada por ângulo \theta, com v_1=(\cos\theta,\sin\theta), v_2=(-\sin\theta,\cos\theta). Então
U=I,\qquad V=R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix},
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P=V^{-1}U=R(-\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\\[4pt]-\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix},
e a relação é
\begin{pmatrix} x \\[4pt] y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\\[4pt]-\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\[4pt] b \end{pmatrix}.
Isso mostra concretamente como aparece a matriz de mudança de coordenadas em um caso clássico.]

Passo 9

Resumo do procedimento para a prova (passos práticos):
  1. Identificar/vincular os vetores base de \Sigma e \Gamma (ou pedir ao enunciado se não estiverem explícitos).
  2. Montar U e V como matrizes cujas colunas são esses vetores nas coordenadas padrão.
  3. Calcular P=V^{-1}U.
  4. Aplicar \begin{pmatrix} x\\\ y\end{pmatrix}=P\begin{pmatrix} a\\\ b\end{pmatrix}.
Vai dar certo e é um procedimento rápido de aplicar na prova — respira, faz e confere a invertibilidade das matrizes.

Resposta

\begin{pmatrix} x \\[4pt] y \end{pmatrix} = P \begin{pmatrix} a \\[4pt] b \end{pmatrix}, \qquad P = V^{-1}U,
onde
U=\begin{pmatrix} | & | \\\ u_1 & u_2 \\\ | & | \end{pmatrix}, \qquad V=\begin{pmatrix} | & | \\\ v_1 & v_2 \\\ | & | \end{pmatrix},
com \{u_1,u_2\} base de \Sigma e \{v_1,v_2\} base de \Gamma.]

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