Exercício 20. Determine os pontos sobre a curva
em que a reta tangente é perpendicular à reta
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os pontos sobre a curva
em que a reta tangente é perpendicular à reta dada por
.\n
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A curva está dada por
. - A reta fixa é
. - A pergunta é: quais pontos
da curva têm reta tangente perpendicular a essa reta?
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): a inclinação (ou coeficiente angular) da reta tangente a uma curva num ponto é dada pela derivada da função no ponto, isto é
. Para encontrar a inclinação da tangente à curva
precisamos calcular a derivada dessa função em termos de
.
Passo 3
Calcular a derivada passo a passo:
- A derivada de
em relação a é (regra potência: ). - A derivada de
é (constante multiplicada por ).
Portanto,
Aqui
representa a inclinação da reta tangente em um ponto de abscissa
.
Passo 4
Encontrar a inclinação da reta dada
. Isolamos
:
A inclinação (coeficiente angular) dessa reta é
— é o número que multiplica
.
Passo 5
Condição de perpendicularidade (explicação didática): duas retas com inclinações
e
são perpendiculares se, e somente se,
. Isso significa que a inclinação da tangente que buscamos deve ser o negativo do recíproco da inclinação da reta dada. Assim a inclinação desejada é
Passo 6
Impor que a derivada valha essa inclinação e resolver para
:
Resolver a equação passo a passo:
- Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
- Somamos
em ambos os lados:
- Dividimos por
:
- Tirando raiz quadrada (lembrando as duas soluções ±):
Passo 7
Calcular a ordenada
correspondente em cada caso usando
.
Para
:
- Calcular
. - Calcular
. - Somar:
Para
:
- Calcular
. - Calcular
. - Somar:
Passo 8
Verificação rápida (opcional, para nos deixar seguros): usando
em
obtemos
que é exatamente a inclinação perpendicular desejada. Tudo consistente.