Exercício 20. Determine os pontos sobre a curva y=x^{3}-3 x em que a reta tangente é perpendicular à reta 5 y-3 x-8=0.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos sobre a curva \,y=x^{3}-3x\, em que a reta tangente é perpendicular à reta dada por \,5y-3x-8=0\,.\n
Informações fornecidas:
  • A curva está dada por \,y=x^{3}-3x\,.
  • A reta fixa é \,5y-3x-8=0\,.
  • A pergunta é: quais pontos (x,y) da curva têm reta tangente perpendicular a essa reta?

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): a inclinação (ou coeficiente angular) da reta tangente a uma curva num ponto é dada pela derivada da função no ponto, isto é \,y'=\dfrac{dy}{dx}\,. Para encontrar a inclinação da tangente à curva \,y=x^{3}-3x\, precisamos calcular a derivada dessa função em termos de x.

Passo 3

Calcular a derivada passo a passo:
  • A derivada de \,x^{3}\, em relação a \,x\, é \,3x^{2}\, (regra potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}).
  • A derivada de \,-3x\, é -3 (constante multiplicada por x).
    Portanto,
y' = 3x^{2}-3.
Aqui \,y'\, representa a inclinação da reta tangente em um ponto de abscissa \,x.

Passo 4

Encontrar a inclinação da reta dada \,5y-3x-8=0\,. Isolamos y:
5y-3x-8=0 \quad\Rightarrow\quad 5y=3x+8 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{3}{5}x+\frac{8}{5}.
A inclinação (coeficiente angular) dessa reta é \,m_{\text{reta}}=\dfrac{3}{5}\, — é o número que multiplica x.

Passo 5

Condição de perpendicularidade (explicação didática): duas retas com inclinações \,m_1\, e \,m_2\, são perpendiculares se, e somente se, \,m_1\cdot m_2 = -1\,. Isso significa que a inclinação da tangente que buscamos deve ser o negativo do recíproco da inclinação da reta dada. Assim a inclinação desejada é
m_{\text{tangente}} = -\frac{1}{m_{\text{reta}}} = -\frac{1}{3/5} = -\frac{5}{3}.

Passo 6

Impor que a derivada valha essa inclinação e resolver para x:
3x^{2}-3 = -\frac{5}{3}.
Resolver a equação passo a passo:
  • Multiplicamos ambos os lados por 3 para eliminar o denominador:
3\cdot(3x^{2}-3) = 3\cdot\left(-\frac{5}{3}\right)
9x^{2}-9 = -5.
  • Somamos 9 em ambos os lados:
9x^{2} = 4.
  • Dividimos por 9:
x^{2} = \frac{4}{9}.
  • Tirando raiz quadrada (lembrando as duas soluções ±):
x = \pm \frac{2}{3}.

Passo 7

Calcular a ordenada y correspondente em cada caso usando \,y=x^{3}-3x\,.
Para \,x=\dfrac{2}{3}\,:
  • Calcular \,x^{3} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{3} = \dfrac{8}{27}\,.
  • Calcular -3x = -3\cdot\dfrac{2}{3} = -2.
  • Somar:
y = \frac{8}{27} - 2 = \frac{8}{27} - \frac{54}{27} = -\frac{46}{27}.
Para \,x=-\dfrac{2}{3}\,:
  • Calcular \,x^{3} = \left(-\dfrac{2}{3}\right)^{3} = -\dfrac{8}{27}\,.
  • Calcular -3x = -3\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right) = 2.
  • Somar:
y = -\frac{8}{27} + 2 = -\frac{8}{27} + \frac{54}{27} = \frac{46}{27}.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, para nos deixar seguros): usando \,x^{2}=\dfrac{4}{9}\, em \,y'=3x^{2}-3\, obtemos
y' = 3\cdot\frac{4}{9}-3 = \frac{4}{3}-3 = \frac{4-9}{3} = -\frac{5}{3},
que é exatamente a inclinação perpendicular desejada. Tudo consistente.

Resposta

\left(\dfrac{2}{3}, -\dfrac{46}{27}\right)
\left(-\dfrac{2}{3}, \dfrac{46}{27}\right)

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