Seja f(x, y)=6 x^{5} y^{3}-4 x y^{2}-6 x y+6 y+9-2 x^{2}. Determine o valor de:
f_{y x x x}(2,-1)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=6x^{5}y^{3}-4xy^{2}-6xy+6y+9-2x^{2}
e pede para calcular o valor de f_{y x x x}(2,-1).
Informações importantes fornecidas:
\begin{aligned} &\text{Função: } f(x,y)=6x^{5}y^{3}-4xy^{2}-6xy+6y+9-2x^{2},\\\ &\text{Ponto onde avaliar: } (x,y)=(2,-1),\\\ &\text{Derivada pedida: } f_{y x x x} \text{ (derivar primeiro em }y\text{, depois três vezes em }x\text{).} \end{aligned}çãê

Passo 2

Entendendo a operação que vamos fazer (uma aulinha rápida e prática):
  • Derivada parcial em y, \frac{\partial}{\partial y}, trata x como constante.
  • Derivada parcial em x, \frac{\partial}{\partial x}, trata y como constante.
  • Regras que usaremos: regra do poder (se g(t)=t^n então g'(t)=n t^{n-1}) e linearidade (derivada da soma é soma das derivadas, constante sai do derivando).
    Agora vamos aplicar: primeiro calculamos \displaystyle f_{y}=\frac{\partial f}{\partial y}. Diferenciando termo a termo, tratando x como constante:
\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial y}\big(6x^{5}y^{3}\big)&=6x^{5}\cdot 3y^{2}=18x^{5}y^{2},\\\ \frac{\partial}{\partial y}\big(-4xy^{2}\big)&=-4x\cdot 2y=-8xy,\\\ \frac{\partial}{\partial y}\big(-6xy\big)&=-6x,\\\ \frac{\partial}{\partial y}\big(6y\big)&=6,\\\ \frac{\partial}{\partial y}\big(9\big)&=0,\qquad \frac{\partial}{\partial y}\big(-2x^{2}\big)=0. \end{aligned}
Portanto
f_{y}=18x^{5}y^{2}-8xy-6x+6.

Passo 3

Agora derivamos f_{y} em relação a x para obter f_{y x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(f_{y}). Aqui y é tratada como constante. Derivando termo a termo:
\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x}\big(18x^{5}y^{2}\big)&=18y^{2}\cdot 5x^{4}=90x^{4}y^{2},\\\ \frac{\partial}{\partial x}\big(-8xy\big)&=-8y,\\\ \frac{\partial}{\partial x}\big(-6x\big)&=-6,\\\ \frac{\partial}{\partial x}\big(6\big)&=0. \end{aligned}
Então
f_{y x}=90x^{4}y^{2}-8y-6.

Passo 4

Derivamos novamente em relação a x para obter f_{y x x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(f_{y x}). Novamente y é constante:
\frac{\partial}{\partial x}\big(90x^{4}y^{2}\big)=90y^{2}\cdot 4x^{3}=360x^{3}y^{2},
e \dfrac{\partial}{\partial x}(-8y)=0,\;\dfrac{\partial}{\partial x}(-6)=0. Logo
f_{y x x}=360x^{3}y^{2}.

Passo 5

Derivamos mais uma vez em relação a x para obter f_{y x x x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(f_{y x x}):
\frac{\partial}{\partial x}\big(360x^{3}y^{2}\big)=360y^{2}\cdot 3x^{2}=1080x^{2}y^{2}.
Portanto
f_{y x x x}(x,y)=1080x^{2}y^{2}.

Passo 6

Agora avaliamos em (2,-1). Substituindo x=2 e y=-1:
f_{y x x x}(2,-1)=1080\cdot (2)^{2}\cdot (-1)^{2}.
Calcule passo a passo: (2)^{2}=4 e (-1)^{2}=1, então
f_{y x x x}(2,-1)=1080\cdot 4\cdot 1=4320.

Passo 7

Comentário rápido e motivador: como f é um polinômio (função muito suave), podemos trocar a ordem das derivadas parciais (teorema de Clairaut), então obter o mesmo resultado derivando primeiro em x e depois em y. Mas a conta que fizemos respeita a ordem pedida e é direta. Você mandou bem vindo até aqui — respira e confia nas regras de derivação!

Resposta

4320

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