Seja
. Determine o valor de:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular o valor de
.
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
Passo 2
Entendendo a operação que vamos fazer (uma aulinha rápida e prática):
- Derivada parcial em
, , trata como constante. - Derivada parcial em
, , trata como constante. - Regras que usaremos: regra do poder (se
então ) e linearidade (derivada da soma é soma das derivadas, constante sai do derivando).
Agora vamos aplicar: primeiro calculamos. Diferenciando termo a termo, tratando como constante:
Portanto
Passo 3
Agora derivamos
em relação a
para obter
. Aqui
é tratada como constante. Derivando termo a termo:
Então
Passo 4
Derivamos novamente em relação a
para obter
. Novamente
é constante:
e
. Logo
Passo 5
Derivamos mais uma vez em relação a
para obter
:
Portanto
Passo 6
Agora avaliamos em
. Substituindo
e
:
Calcule passo a passo:
e
, então
Passo 7
Comentário rápido e motivador: como
é um polinômio (função muito suave), podemos trocar a ordem das derivadas parciais (teorema de Clairaut), então obter o mesmo resultado derivando primeiro em
e depois em
. Mas a conta que fizemos respeita a ordem pedida e é direta. Você mandou bem vindo até aqui — respira e confia nas regras de derivação!