Seja f(x, y)=6 x^{5} y^{3}-4 x y^{2}-6 x y+6 y+9-2 x^{2}. Determine o valor de: f_{xyx}(2,-1)
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x,y)=6x^{5}y^{3}-4xy^{2}-6xy+6y+9-2x^{2}
e pede o valor de f_{xyx}(2,-1).
Informações relevantes:
A função f está explícita em x e y.
Queremos a derivada parcial mista de terceira ordem indicada por f_{xyx}, avaliada no ponto (2,-1).
Não há restrições adicionais; assume-se que as derivadas necessárias existem e são contínuas.
Passo 2
O que significa f_{xyx}?
A notação f_x significa \dfrac{\partial f}{\partial x}, derivada parcial de f em relação a x tratando y como constante.
A notação f_{xy} significa \dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right): primeiro deriva-se em x, depois em y.
A notação f_{xyx} significa \dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)\right): ordem das diferenciações x, depois y, depois x (ou, pensando passo a passo, f \xrightarrow{\partial/\partial x} f_x \xrightarrow{\partial/\partial y} f_{xy} \xrightarrow{\partial/\partial x} f_{xyx}).
Regra prática: ao calcular cada derivada parcial, trate a outra variável como constante e aplique as regras usuais (regra da potência, constante fator, soma/diferença). Por exemplo, ao derivar em x o termo x^3 y^2, como y é constante, obtemos 3x^2 y^2.
Passo 3
Calcular f_x (derivar f em relação a x, tratando y como constante).