Seja f(x, y)=6 x^{5} y^{3}-4 x y^{2}-6 x y+6 y+9-2 x^{2}. Determine o valor de:
f_{xyx}(2,-1)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=6x^{5}y^{3}-4xy^{2}-6xy+6y+9-2x^{2}
e pede o valor de f_{xyx}(2,-1).
Informações relevantes:
  • A função f está explícita em x e y.
  • Queremos a derivada parcial mista de terceira ordem indicada por f_{xyx}, avaliada no ponto (2,-1).
  • Não há restrições adicionais; assume-se que as derivadas necessárias existem e são contínuas.

Passo 2

O que significa f_{xyx}?
  • A notação f_x significa \dfrac{\partial f}{\partial x}, derivada parcial de f em relação a x tratando y como constante.
  • A notação f_{xy} significa \dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right): primeiro deriva-se em x, depois em y.
  • A notação f_{xyx} significa \dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)\right): ordem das diferenciações x, depois y, depois x (ou, pensando passo a passo, f \xrightarrow{\partial/\partial x} f_x \xrightarrow{\partial/\partial y} f_{xy} \xrightarrow{\partial/\partial x} f_{xyx}).
Regra prática: ao calcular cada derivada parcial, trate a outra variável como constante e aplique as regras usuais (regra da potência, constante fator, soma/diferença). Por exemplo, ao derivar em x o termo x^3 y^2, como y é constante, obtemos 3x^2 y^2.

Passo 3

Calcular f_x (derivar f em relação a x, tratando y como constante).
Tomando termo a termo:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\left(6x^{5}y^{3}\right)=6\cdot 5 x^{4} y^{3}=30x^{4}y^{3}.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\left(-4xy^{2}\right)=-4y^{2} (porque é -4 vezes y^{2} constante).
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\left(-6xy\right)=-6y.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\left(6y\right)=0.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\left(9\right)=0.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\left(-2x^{2}\right)=-4x.
Portanto,
f_x(x,y)=30x^{4}y^{3}-4y^{2}-6y-4x.

Passo 4

Calcular f_{xy} (derivar f_x em relação a y, tratando x como constante).
Derivando termo a termo de f_x:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\left(30x^{4}y^{3}\right)=30x^{4}\cdot 3y^{2}=90x^{4}y^{2}.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\left(-4y^{2}\right)=-8y.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\left(-6y\right)=-6.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\left(-4x\right)=0 (pois x é tratado como constante).
Logo,
f_{xy}(x,y)=90x^{4}y^{2}-8y-6.

Passo 5

Calcular f_{xyx} (derivar f_{xy} em relação a x, tratando y como constante).
Derivando cada termo:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\left(90x^{4}y^{2}\right)=90\cdot 4 x^{3} y^{2}=360x^{3}y^{2}.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\left(-8y\right)=0.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\left(-6\right)=0.
Assim,
f_{xyx}(x,y)=360x^{3}y^{2}.

Passo 6

Avaliar f_{xyx} no ponto \,(2,-1).
Substituindo x=2 e y=-1 em f_{xyx}(x,y)=360x^{3}y^{2}:
f_{xyx}(2,-1)=360\cdot 2^{3}\cdot (-1)^{2}=360\cdot 8\cdot 1=2880.

Resposta

2880

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