Exercício 21. Determine os coeficientes \mathrm{a}, \mathrm{b} e c tais que a curva f(x)=a x^{2}+b x+c passe pelo ponto (1,3) e seja tangente à reta 4 x+y=8 no ponto (2,0).

Passo 1

O enunciado pede para determinar os coeficientes a, b e c da parábola f(x)=a x^{2}+b x+c que satisfaz duas condições:
  1. a parábola passa pelo ponto (1,3);
  2. a parábola é tangente à reta 4x+y=8 no ponto (2,0).
    As informações relevantes dadas são, portanto, o ponto (1,3), a reta 4x+y=8 e o ponto de tangência (2,0). O que queremos é encontrar os números \,a,\;b,\;c que tornam essas condições verdadeiras simultaneamente.

Passo 2

Usando a condição "passa pelo ponto (1,3)" fazemos x=1 e f(1)=3. Substituindo na expressão da função:
a(1)^2 + b(1) + c = 3
ou seja
a + b + c = 3.
Isso nos dá a primeira equação linear envolvendo a,b,c.

Passo 3

Agora interpretamos a condição de tangência em (2,0). Ser tangente significa duas coisas que precisamos forçar simultaneamente: a parábola passa por (2,0) (portanto f(2)=0) e a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente à parábola em x=2 coincide com a inclinação da reta dada. Vamos obter essas duas equações.
Primeiro, a reta 4x+y=8 pode ser escrita como y=-4x+8, portanto o coeficiente angular (a inclinação) dessa reta é -4.
Segundo, a inclinação da reta tangente a uma função é dada pela derivada da função naquele ponto. Para uma função quadrática f(x)=a x^{2}+b x+c a derivada é, aplicando a regra do potência e a linearidade,
f'(x)=2ax+b.
Aqui expliquei rapidamente: a derivada de x^2 é 2x, multiplicando por a 2ax; a derivada de bx é b; a derivada de c é 0.
Portanto, as duas equações da condição de tangência são:
  1. f(2)=0, ou seja
4a + 2b + c = 0,
  1. f'(2)=-4, ou seja
4a + b = -4.

Passo 4

Temos então o sistema linear de três equações:
\begin{cases} a + b + c = 3,\\[4pt] 4a + 2b + c = 0,\\[4pt] 4a + b = -4. \end{cases}
Vou resolver esse sistema usando substituição/eliminação de forma direta e clara.]

Passo 5

Da terceira equação isolamos b. A equação é 4a + b = -4, então
b = -4 - 4a.
Anotei isso para substituir nas outras duas equações; é uma técnica padrão para reduzir o número de incógnitas.

Passo 6

Substituo b na segunda equação 4a + 2b + c = 0. Fazendo a substituição:
4a + 2(-4 - 4a) + c = 0.
Agora calculo passo a passo:
4a - 8 - 8a + c = 0,
-4a - 8 + c = 0,
isolo c:
c = 4a + 8.
Pronto: c expresso em função de a.

Passo 7

Agora substituo b e c (em função de a) na primeira equação a + b + c = 3. Temos
a + (-4 - 4a) + (4a + 8) = 3.
Calculo passo a passo:
a - 4 - 4a + 4a + 8 = 3,
os termos em a simplificam: a -4a +4a = a, então
a + 4 = 3.
Logo
a = 3 - 4 = -1.

Passo 8

Com a=-1 volto às expressões obtidas para b e c. Primeiro
b = -4 - 4a = -4 - 4(-1) = -4 + 4 = 0.
E depois
c = 4a + 8 = 4(-1) + 8 = -4 + 8 = 4.

Passo 9

Verificação rápida (sempre bom fazer isso na prova): com a=-1,\;b=0,\;c=4 a função é f(x)=-x^2+4. Então
f(1) = -1 + 4 = 3\quad\text{(ok)},
f(2) = -4 + 4 = 0\quad\text{(ok)},
e a derivada f'(x)=2ax+b=2(-1)x+0=-2x f'(2)=-4, que coincide com a inclinação da reta (ok). Tudo conferido.

Resposta

\displaystyle a=-1
\displaystyle b=0
\displaystyle c=4

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