Exercício 20: Determine o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y=3 x-x^2, y=0, x=0 até x=3, em torno do eixo y=4.
V=pi integral0^3((4-(3 x-x^2))^2) d x

Passo 1

O enunciado pede o volume obtido ao girar a região limitada por y=3x−x², y=0, de x=0 até x=3, em torno da reta y=4. O conteúdo é volume por anéis (washers) e vamos precisar determinar os raios externo e interno e montar a integral correspondente.

Passo 2

Usando o método dos anéis, o volume é dado por
V = pi integral0^3 l(R(x)^2 - r(x)^2r),dx
Aqui o raio externo é a distância de y=4 até y=0, ou seja R(x)=4, e o raio interno é a distância de y=4 até y=3x−x², isto é
r(x)=4 - (3x - x^2)=4 -3x + x^2

Passo 3

Vamos simplificar o integrando:
R(x)^2 - r(x)^2 = 4^2 - l(4 -3x + x^2r)^2 = 16 - (x^2 -3x +4)^2
Expandindo o quadrado:
(x^2 -3x +4)^2 = x^4 -6x^3 +17x^2 -24x +16
Logo,
R(x)^2 - r(x)^2 = 16 - l(x^4 -6x^3 +17x^2 -24x +16r) = -x^4 +6x^3 -17x^2 +24x

Passo 4

Portanto
V = pi integral0^3 (-x^4 +6x^3 -17x^2 +24x),dx
A antiderivada do polinômio é
-x^55 + 6x^44 - 17x^33 + 24x^22 = -x^55 + 3x^42 - 17x^33 +12x^2
Avaliando de 0 a 3:
-3^55 + 3cdot3^42 - 17cdot3^33 +12cdot3^2 = -2435 + 2432 -153 +108

Passo 5

Somando em denomindor comum e simplificando, obtemos
V = 27910,pi

Resposta

V = 279pi10

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