Exercício 20: Determine o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas
até
, em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede o volume obtido ao girar a região limitada por y=3x−x², y=0, de x=0 até x=3, em torno da reta y=4. O conteúdo é volume por anéis (washers) e vamos precisar determinar os raios externo e interno e montar a integral correspondente.
Passo 2
Usando o método dos anéis, o volume é dado por
Aqui o raio externo é a distância de y=4 até y=0, ou seja
, e o raio interno é a distância de y=4 até y=3x−x², isto é
Passo 3
Vamos simplificar o integrando:
Expandindo o quadrado:
Logo,
Passo 4
Portanto
A antiderivada do polinômio é
Avaliando de 0 a 3:
Passo 5
Somando em denomindor comum e simplificando, obtemos