Exercício 14: Calcule o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas
e
, no intervalo
até
, em torno do eixo
.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos o volume obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada pelas curvas
e
para
variando de 0 a 3. Esse é um problema de volume por discos (ou lavagens), onde usaremos a fórmula
. Precisamos ainda ficar atentos pois, após o ponto em que
ultrapassa 3, os papéis de raio externo e interno se invertem.
Passo 2
Determinar o ponto de interseção entre
e
. Resolvendo
obtemos
, que divide o domínio em dois subintervalos, pois para
temos
e para
temos
.
Passo 3
Montar os integrais de volume em cada subintervalo: para
o raio externo é
e o interno
; para
invertemos, ficando
e
. Assim temos:
Passo 4
Calcular a integral no primeiro subintervalo:
Passo 5
Calcular a integral no segundo subintervalo:
Passo 6
Somar as duas contribuições e simplificar:
Resposta
V = \frac{36\pi}{5},(3 + 2\sqrt{3})