Exercício 14: Calcule o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y=x^2 e y=3, no intervalo x=0 até x=3, em torno do eixo x.
V=pi integral0^3(3^2-(x^2)^2) d x

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos o volume obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada pelas curvas y=x^2 e y=3 para x variando de 0 a 3. Esse é um problema de volume por discos (ou lavagens), onde usaremos a fórmula V=piintegral(R^2-r^2),dx. Precisamos ainda ficar atentos pois, após o ponto em que x^2 ultrapassa 3, os papéis de raio externo e interno se invertem.

Passo 2

Determinar o ponto de interseção entre y=x^2 e y=3. Resolvendo x^2=3 obtemos x=raiz3approx1,732, que divide o domínio em dois subintervalos, pois para 0<= x<=raiz3 temos 3>= x^2 e para raiz3<= x<=3 temos x^2>=3.

Passo 3

Montar os integrais de volume em cada subintervalo: para 0<= x<=raiz3 o raio externo é R=3 e o interno r=x^2; para raiz3<= x<=3 invertemos, ficando R=x^2 e r=3. Assim temos:
V = pi integral0^raiz3l(3^2 - (x^2)^2r),dx + pi integralraiz3^3l((x^2)^2 - 3^2r),dx

Passo 4

Calcular a integral no primeiro subintervalo:
integral0^raiz3(9 - x^4),dx = l[9x - tfracx^55r]0^raiz3 = 9raiz3 - (raiz3)^55 = 9raiz3 - 9raiz35 = 36raiz35 Multiplicando por pi obtemos tfrac36raiz3pi5.

Passo 5

Calcular a integral no segundo subintervalo:
integralraiz3^3(x^4 - 9),dx = l[tfracx^55 - 9xr]raiz3^3 = l(tfrac2435 - 27r) - l(tfrac9raiz35 - 9raiz3r) = 1085 + 36raiz35 Multiplicando por pi obtemos l(tfrac1085 + tfrac36raiz35r)pi.

Passo 6

Somar as duas contribuições e simplificar:
V = 36raiz3pi5 + l(1085 + 36raiz35r)pi = l(1085 + 72raiz35r)pi = 36pi5,(3 + 2raiz3)

Resposta

V = \frac{36\pi}{5},(3 + 2\sqrt{3})

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