Exercício 9: Determine o volume da região limitada pelas curvas
e
quando girada em torno do eixo
.
Passo 1
Neste exercício, temos a região limitada por
,
,
e
, girando em torno do eixo
. O conteúdo aqui é volume de revolução, e vamos usar o método dos discos (ou anéis), que diz que o volume é dado por
.
Passo 2
Para cada valor de
, o raio externo
é a maior distância de um ponto da região ao eixo
, que corresponde a
, e o raio interno
é a distância até
, ou seja,
.
Passo 3
Substituindo na fórmula do método dos discos, obtemos
Passo 4
Expandindo o integrando, temos
. Assim
Passo 5
Agora aplicamos a regra de integração termo a termo:
Logo
Passo 6
Avaliando em
e em
, obtemos
Multiplicando por
, o volume fica