Exercício 9: Determine o volume da região limitada pelas curvas x=y^2+1, x=0, y=0 e y=3 quando girada em torno do eixo y.
V=pi integral0^3((y^2+1)^2) d y

Passo 1

Neste exercício, temos a região limitada por x=y^2+1, x=0, y=0 e y=3, girando em torno do eixo y. O conteúdo aqui é volume de revolução, e vamos usar o método dos discos (ou anéis), que diz que o volume é dado por V = pi integraly=a^y=b l[R(y)^2 - r(y)^2r] , dy.

Passo 2

Para cada valor de y, o raio externo R(y) é a maior distância de um ponto da região ao eixo y, que corresponde a x=y^2+1, e o raio interno r(y) é a distância até x=0, ou seja, r(y)=0.

Passo 3

Substituindo na fórmula do método dos discos, obtemos
V = pi integral0^3 l[(y^2+1)^2 - 0^2r] , dy = pi integral0^3 (y^2+1)^2 , dy

Passo 4

Expandindo o integrando, temos (y^2+1)^2 = y^4 + 2y^2 + 1. Assim
V = pi integral0^3 (y^4 + 2y^2 + 1) , dy

Passo 5

Agora aplicamos a regra de integração termo a termo:
integral y^4 , dy = y^55, integral 2y^2 , dy = 2y^33, integral 1 , dy = y
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V = pi l[y^55 + 2y^33 + yr]0^3

Passo 6

Avaliando em y=3 e em y=0, obtemos
3^55 + 2 cdot 3^33 + 3 = 2435 + 18 + 3 = 2435 + 21 = 3485
Multiplicando por pi, o volume fica
V = 348pi5

Resposta

348pi5

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