Exercício 20. (ELJ 110 e 113) Dizemos que uma função h: Omega subset R^m R^n é uma imersão se h é diferenciável e d h(x): R^m R^n é injetora, para todo x in Omega. Mostre que
a) Se h: Omega subset R^m R^n é uma imersão, então m <= n.
b) Se sigma: R^n R^n+p é uma imersão de classe C^1, F: R^n R^n é um difeomorfismo de classe C^1, então sigma circ F: R^n R^n+p é uma imersão de classe C^1.
c) Se f, g: R^n R^n+p são imersões de classe C^1, mostre que f times g: R^n R^n+p times R^n+p dado por
(f times g)(x, y)=(f(x), g(y))
é uma imersão de classe C^1. Conclua que S^1 times S^1 subset R^4 (toro) é a imagem de uma imersão de R^2 em R^4.

Passo 1

O enunciado define imersão como uma função diferenciável h:OmegasubsetR^mtoR^n cuja diferencial d h(x):R^mtoR^n é injetora para todo x. Vamos usar teoria de mapas lineares (posto e injetividade), regra da cadeia e a estrutura do diferencial de produto de aplicações para resolver as três partes.

Passo 2

Para (a), note que em cada xinOmega temos um mapa linear injetor d h(x):R^mtoR^n. Pela teoria de espaços vetoriais, um mapa linear injetor só existe se a dimensão do domínio não exceder a dimensão do contradomínio. Logo dimR^m<=dimR^n, isto é, m<= n.

Passo 3

Para (b), considere sigmacirc F:R^ntoR^n+p. Como sigma e F são de classe C^1, a composição também é C^1. Pela regra da cadeia,
d(sigmacirc F)(x) = dsigmal(F(x)r);circ;dF(x)
Aqui dF(x):R^ntoR^n é invertível (pois F é difeomorfismo) e dsigma(F(x)):R^ntoR^n+p é injetora (pois sigma é imersão). A composição de um mapa injetor com um invertível é injetora. Logo d(sigmacirc F)(x) é injetora em todo x, e sigmacirc F é imersão de classe C^1.

Passo 4

Para (c), defina
(ftimes g):R^ntimesR^ntoR^n+ptimesR^n+p, (ftimes g)(x,y)=(f(x),g(y))
Como f,g são C^1, ftimes g é C^1. Seu diferencial em (x,y) atua em (u,v)inR^ntimesR^n por
d(ftimes g)(x,y),(u,v) =l(df(x),u,;dg(y),vr)
Mas df(x) e dg(y) são ambos injetores, logo se (df(x),u,dg(y),v)=(0,0) então u=0 e v=0. Assim d(ftimes g)(x,y) é injetora e ftimes g é imersão.

Passo 5

Para concluir sobre o toro, use as imersões padrão de S^1 em R^2:
f(t)=(cos t,sin t), g(s)=(cos s,sin s),
que são de classe C^infty e têm derivada não nula (logo são imersões). Então
ftimes g:R^2toR^4, (ftimes g)(t,s)=(cos t,sin t,cos s,sin s)
é uma imersão de R^2 em R^4 cuja imagem é exatamente S^1times S^1, o toro.

Resposta

a) m<= n.
b) sigmacirc F é imersão de classe C^1.
c) ftimes g é imersão de classe C^1. Portanto o toro S^1times S^1subsetR^4 é imagem da imersão (t,s)mapsto(cos t,sin t,cos s,sin s).

Exercícios relacionados