Exercício 20. (ELJ 110 e 113) Dizemos que uma função
é uma imersão se
é diferenciável e
é injetora, para todo
. Mostre que
a) Se
é uma imersão, então
.
b) Se
é uma imersão de classe
é um difeomorfismo de classe
, então
é uma imersão de classe
.
c) Se
são imersões de classe
, mostre que
dado por
é uma imersão de classe
. Conclua que
(toro) é a imagem de uma imersão de
em
.
a) Se
b) Se
c) Se
Passo 1
O enunciado define imersão como uma função diferenciável
cuja diferencial
é injetora para todo
. Vamos usar teoria de mapas lineares (posto e injetividade), regra da cadeia e a estrutura do diferencial de produto de aplicações para resolver as três partes.
Passo 2
Para (a), note que em cada
temos um mapa linear injetor
. Pela teoria de espaços vetoriais, um mapa linear injetor só existe se a dimensão do domínio não exceder a dimensão do contradomínio. Logo
, isto é,
.
Passo 3
Para (b), considere
. Como
e
são de classe
, a composição também é
. Pela regra da cadeia,
Aqui
é invertível (pois
é difeomorfismo) e
é injetora (pois
é imersão). A composição de um mapa injetor com um invertível é injetora. Logo
é injetora em todo
, e
é imersão de classe
.
Passo 4
Para (c), defina
Como
são
,
é
. Seu diferencial em
atua em
por
Mas
e
são ambos injetores, logo se
então
e
. Assim
é injetora e
é imersão.
Passo 5
Para concluir sobre o toro, use as imersões padrão de
em
:
que são de classe
e têm derivada não nula (logo são imersões). Então
é uma imersão de
em
cuja imagem é exatamente
, o toro.
Resposta
a)
.
b) é imersão de classe
.
c) é imersão de classe
. Portanto o toro
é imagem da imersão
.
b)
c)