Exercício 21. (ELJ 115) Mostre que se f: R^n+p R^n é uma submersão de classe C^1, então f leva conjuntos abertos em conjuntos abertos.

Passo 1

O enunciado diz que
f:R^n+ptoR^n é de classe C^1 e submersão, isto é, para todo xinR^n+p o diferencial
Df(x):R^n+ptoR^n
é sobrejetor (posto n).
Queremos mostrar que f leva conjuntos abertos em conjuntos abertos (isto é, f é um mapa aberto).

Passo 2

Fixe x0inR^n+p e seja y0=f(x0). Como Df(x0) tem posto máximo n, o Teorema da Classificação de Funções de Posto Constante (ou forma normal de uma submersão) garante a existência de vizinhanças abertas
UsubsetR^n+p de x0, VsubsetR^n de y0
e difeomorfismos de classe C^1
phi:Utophi(U)subsetR^n+p, psi:Vtopsi(V)subsetR^n
tais que, para todo (u,v)inphi(U)subsetR^ntimesR^p, vale
psil(fl(phi^-1(u,v)r)r)=u
Em outras palavras, naquelas coordenadas locais f coincide com a projeção
pr:R^ntimesR^ptoR^n, pr(u,v)=u

Passo 3

A projeção pr:R^ntimesR^ptoR^n é conhecida por ser um mapa aberto (projeta retângulos abertos em retângulos abertos). Como difeomorfismos são mapas abertos, temos que
fl(U'r) =psi^-1l(prl(phi(U')r)r)
é aberto sempre que U'subset U é aberto. Portanto f|U:Uto V é um mapa aberto localmente em torno de cada x0.

Passo 4

Agora seja WsubsetR^n+p um aberto qualquer. Para cada xin W existe uma vizinhança Uxsubset W sobre a qual f é aberta. Então
f(W) =cupxin Wf(Ux)
é união de abertos, logo é aberto.

Resposta

f leva conjuntos abertos em conjuntos abertos.

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