Exercício 21. (ELJ 115) Mostre que se
é uma submersão de classe
, então
leva conjuntos abertos em conjuntos abertos.
Passo 1
O enunciado diz que
– é de classe
e submersão, isto é, para todo
o diferencial
–
é sobrejetor (posto
).
Queremos mostrar que leva conjuntos abertos em conjuntos abertos (isto é,
é um mapa aberto).
Queremos mostrar que
Passo 2
Fixe
e seja
. Como
tem posto máximo
, o Teorema da Classificação de Funções de Posto Constante (ou forma normal de uma submersão) garante a existência de vizinhanças abertas
e difeomorfismos de classe
tais que, para todo
, vale
Em outras palavras, naquelas coordenadas locais
coincide com a projeção
Passo 3
A projeção
é conhecida por ser um mapa aberto (projeta retângulos abertos em retângulos abertos). Como difeomorfismos são mapas abertos, temos que
é aberto sempre que
é aberto. Portanto
é um mapa aberto localmente em torno de cada
.
Passo 4
Agora seja
um aberto qualquer. Para cada
existe uma vizinhança
sobre a qual
é aberta. Então
é união de abertos, logo é aberto.