Exercício 20.3.2. Encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor dado de a. Também encontre o raio de convergência associado.
f(x)=\frac{1}{x}, a=\pi.

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função \;f(x)=\dfrac{1}{x}\;.
  • O ponto de centralização (centro da série de Taylor) é \;a=\pi\;.
    O que é pedido:
  • Encontrar a série de Taylor de f centrada em a=\pi.
  • Determinar o raio de convergência dessa série.

Passo 2

Breve plano (sem resolver ainda): existem duas formas simples e típicas para obter series de Taylor aqui:
  1. Usar a fórmula geral de Taylor, calculando \;f^{(n)}(a)\;/n! para cada n. Isso dá os coeficientes diretamente.
  2. Fazer uma manipulação algébrica para transformar 1/x numa série geométrica (muito mais rápida em prova). Vou mostrar os dois: primeiro o método por derivadas (para entender de onde vêm os coeficientes), depois o truque da série geométrica (para saber aplicar rápido na prova).

Passo 3

Método por derivadas — calcular f^{(n)}(x) e avaliar em x=\pi.
  1. Calcular as primeiras derivadas para ver o padrão:
f(x)=x^{-1},\qquad f'(x)=-x^{-2},\qquad f''(x)=2x^{-3},\qquad f^{(3)}(x)=-6x^{-4},\\ \ldots
Observe os sinais alternados e os fatoriais aparecendo.
  1. Conjectura/indução do padrão:
f^{(n)}(x)=(-1)^n\,n!\,x^{-n-1}.
Isto é fácil de provar por indução: a derivada de x^{-n-1} traz o fator -(n+1) e diminui a potência em 1, reproduzindo o padrão com n incrementado.
  1. Avaliando em x=\pi:
f^{(n)}(\pi)=(-1)^n\,n!\,\pi^{-n-1}.
  1. Coeficiente de Taylor (fórmula):
    A série de Taylor centrada em a=\pi é
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(\pi)}{n!}\,(x-\pi)^n.
Substituindo o valor de f^{(n)}(\pi):
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\,n!\,\pi^{-n-1}}{n!}\,(x-\pi)^n =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(x-\pi)^n}{\pi^{\,n+1}}.
  1. Escrevendo os primeiros termos para ficar mais claro:
\frac{1}{\pi}-\frac{x-\pi}{\pi^2}+\frac{(x-\pi)^2}{\pi^3}-\frac{(x-\pi)^3}{\pi^4}+\cdots.

Passo 4

Método rápido (série geométrica) — jeito prático para prova.
  1. Escreva x=\pi+h com h=x-\pi. Então
\frac{1}{x}=\frac{1}{\pi+h}=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{h}{\pi}}.
  1. Usar a série geométrica \dfrac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n u^n válida para |u|<1. Aqui u=\dfrac{h}{\pi}=\dfrac{x-\pi}{\pi}.
  2. Assim
\frac{1}{x}=\frac{1}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{x-\pi}{\pi}\right)^n =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(x-\pi)^n}{\pi^{\,n+1}},
mesma série obtida antes. Este é o método que convém usar em prova pelo tempo.

Passo 5

Raio de convergência — determinar onde a série converge.
  1. Pela forma geométrica, a série usada exige \left|\dfrac{x-\pi}{\pi}\right|<1, isto é
|x-\pi|<\pi.
Logo o raio de convergência é \;R=\pi\;.
  1. Alternativamente, aplicar o teste da razão nos coeficientes c_n=(-1)^n\pi^{-n-1}:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{\pi^{-n-1}}{\pi^{-n-2}}=\pi.
Isso confirma R=\pi.

Passo 6

Resumo prático para a prova (dica do amigo): na prova, escreva rapidamente
\frac{1}{x}=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{x-\pi}{\pi}}
e use a série geométrica — é curto e confiável. Se pedirem justificativa dos coeficientes, cite a fórmula de Taylor e mostre f^{(n)}(\pi)=(-1)^n n!\pi^{-n-1}.
Força aí — você já tem a série pronta e o raio; agora é só treinar escrever limpo na prova!

Resposta

\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(x-\pi)^n}{\pi^{\,n+1}}
R=\pi

Exercícios relacionados