Exercício 20.3.2. Encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor dado de a. Também encontre o raio de convergência associado. f(x)=\frac{1}{x}, a=\pi.
Passo 1
O enunciado dá:
A função \;f(x)=\dfrac{1}{x}\;.
O ponto de centralização (centro da série de Taylor) é \;a=\pi\;.
O que é pedido:
Encontrar a série de Taylor de f centrada em a=\pi.
Determinar o raio de convergência dessa série.
Passo 2
Breve plano (sem resolver ainda): existem duas formas simples e típicas para obter series de Taylor aqui:
Usar a fórmula geral de Taylor, calculando \;f^{(n)}(a)\;/n! para cada n. Isso dá os coeficientes diretamente.
Fazer uma manipulação algébrica para transformar 1/x numa série geométrica (muito mais rápida em prova). Vou mostrar os dois: primeiro o método por derivadas (para entender de onde vêm os coeficientes), depois o truque da série geométrica (para saber aplicar rápido na prova).
Passo 3
Método por derivadas — calcular f^{(n)}(x) e avaliar em x=\pi.
Calcular as primeiras derivadas para ver o padrão:
e use a série geométrica — é curto e confiável. Se pedirem justificativa dos coeficientes, cite a fórmula de Taylor e mostre f^{(n)}(\pi)=(-1)^n n!\pi^{-n-1}.
Força aí — você já tem a série pronta e o raio; agora é só treinar escrever limpo na prova!