Exercício 20.3.1. Encontre a série de Maclaurin de f(x). Também encontre o raio de convergência associado.
Lembre-se que \operatorname{senh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}
f(x)=\frac{1}{(1-x)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Encontrar a série de Maclaurin de f(x)=\dfrac{1}{(1-x)^{2}}.
  • Encontrar o raio de convergência dessa série.
Informações relevantes dadas:
  • A função objetivo é f(x)=\dfrac{1}{(1-x)^{2}}.
  • Foi lembrada a definição \operatorname{senh}(x)=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2} (não será necessária aqui, mas está registrada).

Passo 2

Vamos começar por uma série bem conhecida que é a ferramenta principal: a série geométrica. Para |x|<1 vale
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1-x}.
Explicando por que isso é verdade (passo a passo): para N finito,
\sum_{n=0}^{N} x^{n} = \frac{1-x^{N+1}}{1-x}.
Se |x|<1, então x^{N+1}\to 0 quando N\to\infty. Logo, passando ao limite,
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\lim_{N\to\infty}\frac{1-x^{N+1}}{1-x}=\frac{1}{1-x}.
Isso vale para todo x com |x|<1.

Passo 3

Agora vamos obter a série de \dfrac{1}{(1-x)^{2}} derivando termo a termo a série geométrica. Justificativa curta: dentro do raio de convergência ( |x|<1) é permitido derivar a série termo a termo e a série derivada converge para a derivada da soma. Derivando ambos os lados de \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} = \dfrac{1}{1-x} obtemos, para |x|<1,
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right).
O lado direito é
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right)=\frac{1}{(1-x)^{2}}.
O lado esquerdo, derivando termo a termo, é
\sum_{n=0}^{\infty} n x^{n-1}.

Passo 4

A série obtida na forma \sum_{n=0}^{\infty} n x^{n-1} pode ser reindexada para escrever como uma série em potências de x^{k} com k começando em 0. Faça a troca k=n-1. Quando n=0 o termo é 0, então efetivamente a soma começa em n=1; com k=n-1 obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) x^{k}.
Portanto, para |x|<1,
\frac{1}{(1-x)^{2}}=\sum_{k=0}^{\infty} (k+1)\,x^{k}.

Passo 5

Escrevendo explicitamente os primeiros termos para ficar mais concreto:
\frac{1}{(1-x)^{2}} = 1 + 2x + 3x^{2} + 4x^{3} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)\,x^{n},
válido para |x|<1. Aqui o coeficiente geral do termo x^{n} é n+1.

Passo 6

Vamos encontrar o raio de convergência R. Duas formas rápidas:
  1. Observação pelo método: a série foi obtida a partir da série geométrica \sum x^{n} cujo raio de convergência é 1; a diferenciação termo a termo não altera o raio de convergência, logo R=1.
  2. Checando pelos coeficientes: para a série \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^{n} aplique o teste da razão:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(n+2)}{(n+1)}\right|=1.
Pelo teste da razão isso indica raio R=1. Ou usando o teste da raiz,
\limsup_{n\to\infty} (n+1)^{1/n}=1,
dando também R=1.
Comentário sobre os extremos: em x=1 a série vira \sum_{n=0}^\infty (n+1) que diverge; em x=-1 fica \sum_{n=0}^\infty (n+1)(-1)^n que também diverge. Assim a convergência é apenas no intervalo aberto (-1,1).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{(1-x)^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)\,x^{n}=1+2x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots para |x|<1.
Raio de convergência: R=1.

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