Agora vamos obter a série de \dfrac{1}{(1-x)^{2}} derivando termo a termo a série geométrica. Justificativa curta: dentro do raio de convergência (|x|<1) é permitido derivar a série termo a termo e a série derivada converge para a derivada da soma. Derivando ambos os lados de \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} = \dfrac{1}{1-x} obtemos, para |x|<1,
A série obtida na forma \sum_{n=0}^{\infty} n x^{n-1} pode ser reindexada para escrever como uma série em potências de x^{k} com k começando em 0. Faça a troca k=n-1. Quando n=0 o termo é 0, então efetivamente a soma começa em n=1; com k=n-1 obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) x^{k}.
válido para |x|<1. Aqui o coeficiente geral do termo x^{n} é n+1.
Passo 6
Vamos encontrar o raio de convergência R. Duas formas rápidas:
Observação pelo método: a série foi obtida a partir da série geométrica \sum x^{n} cujo raio de convergência é 1; a diferenciação termo a termo não altera o raio de convergência, logo R=1.
Checando pelos coeficientes: para a série \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^{n} aplique o teste da razão:
Pelo teste da razão isso indica raio R=1. Ou usando o teste da raiz,
\limsup_{n\to\infty} (n+1)^{1/n}=1,
dando também R=1.
Comentário sobre os extremos: em x=1 a série vira \sum_{n=0}^\infty (n+1) que diverge; em x=-1 fica \sum_{n=0}^\infty (n+1)(-1)^n que também diverge. Assim a convergência é apenas no intervalo aberto (-1,1).
Resposta
\displaystyle \frac{1}{(1-x)^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)\,x^{n}=1+2x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots para |x|<1.
Raio de convergência: R=1.