Exercício 20.3.2. Encontre a série de Taylor de
centrada no valor dado de a. Também encontre o raio de convergência associado.
.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que foi dado.
- O enunciado pede: encontrar a série de Taylor de
centrada em e também o raio de convergência dessa série. - Informações dadas:
- A função é
. - O ponto de centralização é
.
- A função é
- Objetivo prático nesta resolução: obter a expansão em potências de
, isto é escrever como uma série em ; e determinar o raio de convergência.
Passo 2
Estratégia e ferramenta básica que vou usar (explicação didática).
- Uma maneira prática para obter a série centrada em
é usar a fórmula
pois a série pode ser obtida expandindo a derivada
em potências de
e integrando termo a termo. Esta técnica é útil porque integrar uma série termo a termo preserva o raio de convergência interior.
- Coloco
. Então vou obter - Observação numérica:
Passo 3
Simplificar a integranda e preparar para expandir.
- Calculo o denominador:
- Logo
- Para expandir em potências de
é conveniente escrever
- Sempre que
vale a expansão geométrica
Aqui
é uma série em
, então vamos expandir
em potências de
.
Passo 4
Expandir
em potências de
(aula de manipulação de séries).
- Usando o binômio:
- Se escrevermos o termo como potência
, nota-se que para dado os expoentes variam de (quando ) até (quando ). É conveniente reindexar: para um dado o termo vindo de existe somente se . - Reescrevendo, o coeficiente de
em é
isto porque
. (Essa expressão é válida quando
.)
Passo 5
Obter a série para a derivada
como soma dupla e extrair coeficientes.
- A partir de antes:
- Troco a ordem da soma para escrever como série em potências de
:
onde, para cada
,
- Essa fórmula dá o coeficiente
do termo na expansão da derivada; é uma fórmula explícita em somatório com binomiais. Agora, na prática, é interessante calcular os primeiros coeficientes para ver o padrão.
Passo 6
Calcular explicitamente os primeiros coeficientes
(prática para aplicar na prova).
-
: só contribui,
-
: só ,
-
: ,
-
: ,
-
: ,
- Resumo dos primeiros termos:
Passo 7
Integrar termo a termo para obter a série de
.
- Temos
válido enquanto a soma da derivada converge uniformemente no intervalo de integração (internamente ao disco de convergência).
- Usando os coeficientes calculados:
- Do termo
vem . - De
vem . - De
vem . - De
vem . - De
vem .
- Do termo
- Portanto os primeiros termos da série são
onde lembramos
.
Passo 8
Apresentar uma fórmula geral (opcional, para quem quer o coeficiente em forma fechada) e comentar sobre a convergência.
- A partir das fórmulas acima, um coeficiente geral para
(com ) é
- Na prática de prova geralmente basta dar a expressão através da integral e os primeiros termos (como fizemos) e justificar o raio de convergência por singularidades complexas (veja próximo passo).
Passo 9
Determinar o raio de convergência (explicação conceitual e cálculo).
- A função
é analítica como função complexa em todo exceto nos pontos onde , isto é nos pontos . - Para uma série de Taylor centrada em
, o raio de convergência é a distância do ponto ao singularidade mais próxima no plano complexo (teorema geral sobre séries de Taylor / analiticidade). - Distância de
até :
- A mesma distância vale para
. Logo o raio de convergência é