Exercício 20.3.2. Encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor dado de a. Também encontre o raio de convergência associado.
f(x)=\operatorname{arctg}(x), a=1.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que foi dado.
  • O enunciado pede: encontrar a série de Taylor de f(x)=\operatorname{arctg}(x) centrada em a=1 e também o raio de convergência dessa série.
  • Informações dadas:
    • A função é f(x)=\operatorname{arctg}(x).
    • O ponto de centralização é a=1.
  • Objetivo prático nesta resolução: obter a expansão em potências de h=x-1, isto é escrever \operatorname{arctg}(1+h) como uma série em h; e determinar o raio de convergência.

Passo 2

Estratégia e ferramenta básica que vou usar (explicação didática).
  • Uma maneira prática para obter a série centrada em a=1 é usar a fórmula
\operatorname{arctg}(x)=\operatorname{arctg}(1)+\int_{1}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt,
pois a série pode ser obtida expandindo a derivada f'(t)=\dfrac{1}{1+t^{2}} em potências de t-1 e integrando termo a termo. Esta técnica é útil porque integrar uma série termo a termo preserva o raio de convergência interior.
  • Coloco h=x-1. Então vou obter \operatorname{arctg}(1+h)=\operatorname{arctg}(1)+\int_{0}^{h}\dfrac{1}{1+(1+t)^{2}}\,dt.
  • Observação numérica: \operatorname{arctg}(1)=\dfrac{\pi}{4}.

Passo 3

Simplificar a integranda e preparar para expandir.
  • Calculo o denominador:
1+(1+t)^{2}=1+1+2t+t^{2}=2+2t+t^{2}=2\Bigl(1+t+\frac{t^{2}}{2}\Bigr).
  • Logo
\frac{1}{1+(1+t)^{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+t+\tfrac{t^{2}}{2}}.
  • Para expandir em potências de t é conveniente escrever
\frac{1}{1+t+\tfrac{t^{2}}{2}}=\frac{1}{1+z},\qquad z:=t+\frac{t^{2}}{2}.
  • Sempre que |z|<1 vale a expansão geométrica
\frac{1}{1+z}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}z^{n}.
Aqui z é uma série em t, então vamos expandir z^{n} em potências de t.

Passo 4

Expandir z^{n}=(t+\tfrac{t^{2}}{2})^{n} em potências de t (aula de manipulação de séries).
  • Usando o binômio:
z^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}t^{k}\Bigl(\frac{t^{2}}{2}\Bigr)^{\,n-k} =\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}2^{-(n-k)}t^{k+2(n-k)}.
  • Se escrevermos o termo como potência t^{m}, nota-se que para dado n os expoentes m variam de m=n (quando k=n) até m=2n (quando k=0). É conveniente reindexar: para um dado m o termo vindo de z^{n} existe somente se n\le m\le 2n.
  • Reescrevendo, o coeficiente de t^{m} em z^{n} é
\binom{n}{2n-m}2^{-(m-n)},
isto porque k=2n-m. (Essa expressão é válida quando n\le m\le 2n.)

Passo 5

Obter a série para a derivada f'(1+t)=\dfrac{1}{1+(1+t)^{2}} como soma dupla e extrair coeficientes.
  • A partir de antes:
\frac{1}{1+(1+t)^{2}}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}z^{n} =\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\sum_{m=n}^{2n}\binom{n}{2n-m}2^{-(m-n)}t^{m}.
  • Troco a ordem da soma para escrever como série em potências de t:
\frac{1}{1+(1+t)^{2}}=\sum_{m=0}^{\infty}c_{m}t^{m},
onde, para cada m\ge0,
c_{m}=\frac{1}{2}\sum_{n=\lceil m/2\rceil}^{m}(-1)^{n}\binom{n}{2n-m}2^{-(m-n)}.
  • Essa fórmula dá o coeficiente c_{m} do termo t^{m} na expansão da derivada; é uma fórmula explícita em somatório com binomiais. Agora, na prática, é interessante calcular os primeiros coeficientes para ver o padrão.

Passo 6

Calcular explicitamente os primeiros coeficientes c_{m} (prática para aplicar na prova).
  • m=0: só n=0 contribui,
c_{0}=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}.
  • m=1: só n=1,
c_{1}=\frac{1}{2}\cdot(-1)\binom{1}{1}2^{0}=-\frac{1}{2}.
  • m=2: n=1,2,
c_{2}=\frac{1}{2}\Bigl[(-1)\binom{1}{0}2^{-1}+(+1)\binom{2}{2}2^{0}\Bigr] =\frac{1}{2}\Bigl(-\tfrac{1}{2}+1\Bigr)=\frac{1}{4}.
  • m=3: n=2,3,
c_{3}=\frac{1}{2}\Bigl[(+1)\binom{2}{1}2^{-1}+(-1)\binom{3}{3}2^{0}\Bigr] =\frac{1}{2}\Bigl(1-1\Bigr)=0.
  • m=4: n=2,3,4,
c_{4}=\frac{1}{2}\Bigl[1\cdot\binom{2}{0}2^{-2}+(-1)\binom{3}{2}2^{-1}+1\cdot\binom{4}{4}2^{0}\Bigr] =\frac{1}{2}\Bigl(\tfrac{1}{4}-\tfrac{3}{2}+1\Bigr)=-\frac{1}{8}.
  • Resumo dos primeiros termos:
\frac{1}{1+(1+t)^{2}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}t^{2}+0\cdot t^{3}-\frac{1}{8}t^{4}+\cdots.

Passo 7

Integrar termo a termo para obter a série de \operatorname{arctg}(1+h).
  • Temos
\operatorname{arctg}(1+h)=\frac{\pi}{4}+\int_{0}^{h}\Bigl(\sum_{m=0}^{\infty}c_{m}t^{m}\Bigr)\,dt =\frac{\pi}{4}+\sum_{m=0}^{\infty}c_{m}\frac{h^{m+1}}{m+1},
válido enquanto a soma da derivada converge uniformemente no intervalo de integração (internamente ao disco de convergência).
  • Usando os coeficientes calculados:
    • Do termo c_{0}=\tfrac{1}{2} vem \tfrac{1}{2}h.
    • De c_{1}=-\tfrac{1}{2} vem -\tfrac{1}{4}h^{2}.
    • De c_{2}=\tfrac{1}{4} vem \tfrac{1}{12}h^{3}.
    • De c_{3}=0 vem 0\cdot h^{4}.
    • De c_{4}=-\tfrac{1}{8} vem -\tfrac{1}{40}h^{5}.
  • Portanto os primeiros termos da série são
\operatorname{arctg}(1+h)=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}h-\frac{1}{4}h^{2}+\frac{1}{12}h^{3}-\frac{1}{40}h^{5}+\cdots,
onde lembramos h=x-1.

Passo 8

Apresentar uma fórmula geral (opcional, para quem quer o coeficiente em forma fechada) e comentar sobre a convergência.
  • A partir das fórmulas acima, um coeficiente geral para h^{n} (com n\ge1) é
a_{n}=\frac{1}{n}\cdot c_{n-1} =\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{2}\sum_{k=\lceil (n-1)/2\rceil}^{n-1}(-1)^{k}\binom{k}{2k-(n-1)}2^{-(n-1-k)}.
  • Na prática de prova geralmente basta dar a expressão através da integral e os primeiros termos (como fizemos) e justificar o raio de convergência por singularidades complexas (veja próximo passo).

Passo 9

Determinar o raio de convergência (explicação conceitual e cálculo).
  • A função \operatorname{arctg}(x) é analítica como função complexa em todo \mathbb{C} exceto nos pontos onde 1+x^{2}=0, isto é nos pontos x=\pm i.
  • Para uma série de Taylor centrada em a=1, o raio de convergência é a distância do ponto a ao singularidade mais próxima no plano complexo (teorema geral sobre séries de Taylor / analiticidade).
  • Distância de 1 até i:
|1-i|=\sqrt{(1-0)^{2}+(0-1)^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
  • A mesma distância vale para -i. Logo o raio de convergência é
R=\sqrt{2}.

Resposta

\operatorname{arctg}(x)=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}(x-1)-\frac{1}{4}(x-1)^{2}+\frac{1}{12}(x-1)^{3}-\frac{1}{40}(x-1)^{5}+\cdots
\text{Raio de convergência: }R=\sqrt{2}.ê

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