Exercício 20. Escreva a Fórmula de Taylor de ordem 2 de uma função f: R^n longrightarrow R explicitamente, nos seguintes casos:
2. Em termos das derivadas parciais de primeira e de segunda ordem de f.

Passo 1

O enunciado pede a fórmula de Taylor de ordem 2 para uma função
f:R^ntoR
explicitando-a em termos das derivadas parciais de primeira e segunda ordem.
Conteúdo necessário: conceito de gradiente, matriz Hessiana e expansão de Taylor multivariada.

Passo 2

Escolhemos um ponto base
a=(a1,dots,an)inR^n
e definimos o incremento
h=(h1,dots,hn)=x-a.
Queremos aproximar f(a+h) por um polinômio de grau 2 em h.

Passo 3

Lembrando que o gradiente de f em a é o vetor
nabla f(a) =l(tfracpartial fpartial x1(a),dots,tfracpartial fpartial xn(a)r)
e a Hessiana de f em a é a matriz
Hf(a) =l(tfracpartial^2 fpartial xipartial xj(a)r)i,j=1,dots,n

Passo 4

A expansão de Taylor de ordem 2 em torno de a fica então
f(a+h) = f(a) + nabla f(a)cdot h + tfrac12,h^T ,Hf(a),h + ol(|h|^2r)

Passo 5

Para explicitar em termos de somatórios de derivadas parciais devemos reconhecer que
nabla f(a)cdot h=sumi=1^ntfracpartial fpartial xi(a),hi
e
h^THf(a),h =sumi=1^nsumj=1^ntfracpartial^2 fpartial xipartial xj(a),hi,hj

Resposta

f(a+h) = f(a) + sumi=1^npartial fpartial xi(a),hi + 12 sumi=1^nsumj=1^n partial^2 fpartial xipartial xj(a),hi,hj + ol(|h|^2r)

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