Exercício 20. Escreva a Fórmula de Taylor de ordem 2 de uma função
explicitamente, nos seguintes casos:
2. Em termos das derivadas parciais de primeira e de segunda ordem de
.
2. Em termos das derivadas parciais de primeira e de segunda ordem de
Passo 1
O enunciado pede a fórmula de Taylor de ordem 2 para uma função
explicitando-a em termos das derivadas parciais de primeira e segunda ordem.
Conteúdo necessário: conceito de gradiente, matriz Hessiana e expansão de Taylor multivariada.
explicitando-a em termos das derivadas parciais de primeira e segunda ordem.
Conteúdo necessário: conceito de gradiente, matriz Hessiana e expansão de Taylor multivariada.
Passo 2
Escolhemos um ponto base
e definimos o incremento
.
Queremos aproximar por um polinômio de grau 2 em
.
e definimos o incremento
Queremos aproximar
Passo 3
Lembrando que o gradiente de
em
é o vetor
e a Hessiana de
em
é a matriz
Passo 4
A expansão de Taylor de ordem 2 em torno de
fica então
Passo 5
Para explicitar em termos de somatórios de derivadas parciais devemos reconhecer que
e
e