Determine as constantes C1 e C2 para que a função y(x) atenda às condições indicadas:
y(x)=C1 sen 2 x+C2 cos 2 x+1 ; y(pi / 8)=0, y^prime(pi / 8)=raiz2.

Passo 1

O enunciado dá a função
y(x)=C1sin2x ;+; C2cos2x ;+;1
e pede C1 e C2 tais que
;y(pi/8)=0; e ;y'(pi/8)=raiz2.
O conteúdo usado será: derivada de combinação linear de seno e cosseno e resolução de sistema linear.

Passo 2

Derivamos termo a termo, lembrando que
ddxsin2x=2cos2x e ddxcos2x=-2sin2x.
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y'(x)=2C1cos2x ;-;2C2sin2x

Passo 3

Avaliaremos em x=pi/8. Como
sin(2cdotpi/8)=sin(pi/4)=tfracraiz22 e
cos(2cdotpi/8)=cos(pi/4)=tfracraiz22, as condições viram
y(pi/8)=C1tfracraiz22+C2tfracraiz22+1=0 Longrightarrow C1+C2=-raiz2,
y'(pi/8)=2C1tfracraiz22-2C2tfracraiz22=raiz2 Longrightarrow C1-C2=1

Passo 4

Resolvendo o sistema
C1+C2=-raiz2, C1-C2=1,
somamos as equações para obter
;2C1=1-raiz2implies C1=1-raiz22.
Em seguida
;C2=-raiz2-C1=-raiz2-1-raiz22=-1+raiz22.

Resposta

C1=1-raiz22, C2=-1+raiz22

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