(2,5) Sejam f(x)=a^2 sen (x)+1 e g(x)=arcsen(x-1a^2), onde a neq 0.
Simplifique f(g(x)) e determine o domínio de f circ g.
(1,0)
f(g(x))=a^2 sen(g(x))+1=a^2 sen(arcsen(x-1a^2))+1=a^2 x-1a^2+1=x, onde a penúltima igualdade anterior vem de sen (arcsen(y))=y, para todo y in[-1,1].
(1,5)
Como f tem domínio R, para determinarmos o domínio de f circ g, basta determinamos o conjunto dos números reais x tais que g(x)=arcsen(x-1a^2) é um número real para podermos usar como argumento de f. É necessário que
r -1 <= x-1a^2 <= 1 -a^2 <= x-1 <= a^2 1-a^2 <= x <= a^2+1
Portanto o domínio de g e também de f circ g é o intervalo [1-a^2, 1+a^2].

Passo 1

O enunciado define
f(x) = a^2sin(x) + 1
e
g(x) = arcsin!l(x-1a^2r),
com aneq0. Queremos simplificar f(g(x)) e achar o domínio de fcirc g. Para isso usamos a identidade
sinl(arcsin(y)r)=ypara yin[-1,1],
e lembramos que arcsin só está definido quando seu argumento está em [-1,1].

Passo 2

Substituindo g(x) em f, temos
fl(g(x)r) = a^2,sinl(g(x)r)+1 = a^2,sin!l(arcsin!l(tfracx-1a^2r)r)+1
Pela identidade sin(arcsin(y))=y, isto é
fl(g(x)r) = a^2,x-1a^2+1 = x-1+1 = x
Logo a forma simplificada é
fcirc g(x)=x,
contanto que o argumento de arcsin seja válido.

Passo 3

O domínio de fcirc g é o conjunto de x tais que
x-1a^2in[-1,1]
Como a^2>0, multiplicamos em todas as partes sem mudar as desigualdades:
-1<= x-1a^2<=1 Long<=ftrightarrow -a^2<= x-1<= a^2 Long<=ftrightarrow 1 - a^2<= x<= 1 + a^2
Portanto
Dom(fcirc g) = l[,1 - a^2,,1 + a^2r]

Resposta

fcirc g(x)=x
Dom(fcirc g)=[,1 - a^2,,1 + a^2,]

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