Exercício 20. Escreva a Fórmula de Taylor de ordem 2 de uma função f: R^n longrightarrow R explicitamente, nos seguintes casos:
  1. Em termos do gradiente e da matriz Hessiana.

Passo 1

O enunciado pede a Fórmula de Taylor de ordem 2 para uma função fcolonR^ntoR. Vamos expandi-la em torno de um ponto fixo ainR^n, usando o gradiente de primeira ordem e a matriz Hessiana de segunda ordem.

Passo 2

Antes de escrever o polinômio de Taylor, definimos:
– O vetor deslocamento
h = x-a.
– O gradiente em a, que é o vetor
nabla f(a) = l(partialx1f(a),dots,partialxnf(a)r)^T.
– A matriz Hessiana em a, cuja entrada (i,j) é
l[Hf(a)r]ij = partial^2 fpartial xi,partial xj(a).

Passo 3

Usando o Teorema de Taylor em várias variáveis até a ordem 2, obtemos:
f(x) = f(a) + nabla f(a)^T,h + tfrac12,h^T,Hf(a),h + ol(|h|^2r)

Resposta

f(x) = f(a) + nabla f(a)^T(x-a) + tfrac12,( x-a )^T,Hf(a),( x-a ) + o!l(|x-a|^2r)

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