Exercício 20. Escreva a Fórmula de Taylor de ordem 2 de uma função
explicitamente, nos seguintes casos:
- Em termos do gradiente e da matriz Hessiana.
Passo 1
O enunciado pede a Fórmula de Taylor de ordem 2 para uma função
. Vamos expandi-la em torno de um ponto fixo
, usando o gradiente de primeira ordem e a matriz Hessiana de segunda ordem.
Passo 2
Antes de escrever o polinômio de Taylor, definimos:
– O vetor deslocamento
.
– O gradiente em , que é o vetor
.
– A matriz Hessiana em , cuja entrada
é
.
– O vetor deslocamento
– O gradiente em
– A matriz Hessiana em
Passo 3
Usando o Teorema de Taylor em várias variáveis até a ordem 2, obtemos: