(2,5) Sejam f(x)=ln (x-e^b) e g(x)=e^raizx-b, onde b in R.
Determine f(g(x)) e o domínio de f circ g.
(0,5)
f(g(x))=ln (g(x)-e^b)=ln (e^raizx-b-e^b)
Para f circ g estar bem definida em x devemos ter, por um lado,
r x-b >= 0 x >= b
e, por outro lado,
e^raizx-b-e^b & >0 e^raizx-b & >e^b raizx-b & >b
Se b >= 0, temos equivalentemente
x-b & >b^2 x & >b+b^2
e como b^2 >= 0, temos b+b^2 >= b, logo o domínio é
(b+b^2, infty)
Se b<0, então raizx-b>b é verdadeira para todo x em que a raiz estiver definida. Assim, o domínio da composição é
[b, infty)

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=lnl(x-e^br), g(x)=e^raizx-b,
com binR, e pede a composição fcirc g e seu domínio. O conteúdo envolvido é composição de funções, domínio de logaritmo (argumento estritamente positivo) e domínio de raiz quadrada.

Passo 2

Para todo x em que g e f estejam definidas,
(fcirc g)(x) = fl(g(x)r) = ln!l(g(x)-e^br) = ln!l(e^raizx-b-e^br)

Passo 3

Primeiro, para g(x)=e^raizx-b estar definida, precisamos ter
x-b>=0 Longrightarrow x>= b

Passo 4

Depois, para o logaritmo em (fcirc g)(x) fazer sentido, o argumento deve ser positivo:
e^raizx-b-e^b>0 Longrightarrow e^raizx-b>e^b Longrightarrow raizx-b>b

Passo 5

Para resolver raizx-b>b consideramos dois casos:
  1. b<0.
    Nesse caso raizx-b>=0 e 0>b, logo raizx-b>b vale para todo x>= b.
    Assim o domínio é
    x>= b
  2. b>=0.
    Agora b é não negativo, então podemos elevar ao quadrado sem inverter o sinal:
    raizx-b>b Longrightarrow x-b>b^2 Longrightarrow x>b+b^2
    Como b+b^2>= b, a condição x>= b já está garantida por x>b+b^2.
    Logo o domínio é
    x>b+b^2

Resposta

(fcirc g)(x)=ln!l(e^raizx-b-e^br),
com domínio
[x,infty)=[b,infty),&se b<0, (x,infty)=(b+b^2,infty),&se b>=0

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