Exercício 20 (F.2.4 ex.12)
Seja f:[0, pi] C uma função contínua por partes tal que f(theta)=f(pi-theta). Sejam an e bn os termos da expansão em cossenos e da expansão em senos de f, respectivamente. Mostre que an=0 para n ímpar e bn=0 para n par.

Passo 1

O enunciado define uma função f:[0,pi]toC, contínua por partes, que satisfaz
f(theta)=f(pi-theta)
Queremos mostrar, usando a definição dos coeficientes da série de Fourier em [0,pi], que os coeficientes em cossenos
an=2piintegral0^pif(theta)cos(ntheta),dtheta
são nulos para n ímpar, e que os coeficientes em senos
bn=2piintegral0^pif(theta)sin(ntheta),dtheta
são nulos para n par. Para isso, vamos usar a simetria f(theta)=f(pi-theta) e fazer a mudança de variável theta=pi-u.

Passo 2

Escrevemos as definições dos coeficientes (para n>=1):
an=2piintegral0^pif(theta)cos(ntheta),dtheta, bn=2piintegral0^pif(theta)sin(ntheta),dtheta

Passo 3

Considere o integral
I=integral0^pif(theta)cos(ntheta),dtheta
Fazendo a mudança de variável theta=pi-u temos dtheta=-du e os limites invertem, mas isto dá
I=integralpi^0f(pi-u)cosl(n(pi-u)r)(-du) =integral0^pif(pi-u)cosl(npi-nur),du
Como f(pi-u)=f(u) e cos(npi-nu)=(-1)^ncos(nu), segue
I =(-1)^nintegral0^pif(u)cos(nu),du =(-1)^nI

Passo 4

Da igualdade I=(-1)^nI obtemos
l(1-(-1)^nr)I=0
Se n é ímpar, (-1)^n=-1 e 1-(-1)^n=2, logo I=0. Como an=2piI, concluímos
an=0para (n) ímpar í

Passo 5

Agora considere
J=integral0^pif(theta)sin(ntheta),dtheta
Com a mesma mudança theta=pi-u obtemos
J=integral0^pif(pi-u)sinl(n(pi-u)r),du =integral0^pif(u)sinl(npi-nur),du
Como sin(npi-nu)=(-1)^n+1sin(nu), vem
J =(-1)^n+1integral0^pif(u)sin(nu),du =(-1)^n+1J

Passo 6

Da igualdade J=(-1)^n+1J segue
l(1-(-1)^n+1r)J=0
Se n é par, (-1)^n+1=-1 e 1-(-1)^n+1=2, logo J=0. Como bn=2piJ, concluímos
bn=0para (n) par

Resposta

an=0 para todo n ímpar e bn=0 para todo n par.

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