Exercício 20 (F.2.4 ex.12)
Seja
uma função contínua por partes tal que
. Sejam
e
os termos da expansão em cossenos e da expansão em senos de
, respectivamente. Mostre que
para
ímpar e
para
par.
Seja
Passo 1
O enunciado define uma função
, contínua por partes, que satisfaz
Queremos mostrar, usando a definição dos coeficientes da série de Fourier em
, que os coeficientes em cossenos
são nulos para ímpar, e que os coeficientes em senos
são nulos para par. Para isso, vamos usar a simetria
e fazer a mudança de variável
.
são nulos para
são nulos para
Passo 2
Escrevemos as definições dos coeficientes (para
):
Passo 3
Considere o integral
Fazendo a mudança de variável
temos
e os limites invertem, mas isto dá
Como
e
, segue
Passo 4
Da igualdade
obtemos
Se
é ímpar,
e
, logo
. Como
, concluímos
Passo 5
Agora considere
Com a mesma mudança
obtemos
Como
, vem
Passo 6
Da igualdade
segue
Se
é par,
e
, logo
. Como
, concluímos