(1,0)
(a) Mostre que a função f:[-1,1] R, definida por
f(x)=l -2 x^2-2 x, se x in[-1,-12] |x|, se x in(-12, 0] x sen 1x, se x in(0,1]
é contínua.
(b) A função dada no item anterior assume valor máximo no domínio de definição? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a função
Pede-se (a) mostrar que assume valor máximo em . Vamos usar continuidade a troços, limites laterais nos pontos de junção e o Teorema de Weierstrass.

Passo 2

Em cada intervalo aberto onde f é dada por uma expressão elementar temos continuidade automática:
  • Em [-1,-tfrac12] a função xmapsto -2x^2-2x é polinomial.
  • Em (-tfrac12,0] a função xmapsto|x| é contínua.
  • Em (0,1] a função xmapsto xsin1x é produto de funções contínuas em x>0.

Passo 3

Checamos continuidade em x=-tfrac12.
O limite pela esquerda é
limxto(-12)^-(-2x^2-2x) =-2l(-tfrac12r)^2-2l(-tfrac12r) =-tfrac12+1=tfrac12
O valor pela direita é
limxto(-12)^+|x| =l|-tfrac12r|=tfrac12
e vale f(-tfrac12)=tfrac12. Assim f é contínua em -tfrac12.

Passo 4

Checamos continuidade em x=0.
Pela esquerda,
limxto0^-|x|=0.
Pela direita, como -1<=sin1x<=1 e xto0^+, pelo princípio do sanduíche
limxto0^+xsin1x=0
E f(0)=|0|=0. Logo f é contínua em 0.

Passo 5

Concluímos que f é contínua em cada trecho e nos pontos de junção. Portanto f é contínua em todo [-1,1].

Passo 6

Por ser contínua num conjunto compacto [-1,1], o Teorema de Weierstrass garante que f atinge máximo e mínimo nesse intervalo.

Passo 7

Para identificar o máximo, comparamos valores nos pontos críticos e nas extremidades:
  • f(-1)=-2cdot1+2=0.
  • f(-tfrac12)=tfrac12.
  • Em (-tfrac12,0], f(x)=|x|<=tfrac12.
  • Em (0,1], note que xsin1x<= xe xsin1x é estritamente crescente em (0,1], épois ddxl(xsintfrac1xr) =sintfrac1x-tfrac1xcostfrac1x>0 Logo o máximo nessa parte ocorre em x=1, dando f(1)=sin1approx0,84.
  • Comparando, sin1> tfrac12.

Resposta

A função f é contínua em [-1,1] e atinge seu valor máximo em x=1, sendo
max[-1,1]f(x)=f(1)=sin1

Exercícios relacionados