(1,0)
Prove que a condição necessária e suficiente para que uma série sumn=1^infty an seja convergente é que dado qualquer varepsilon>0 exista n0 inteiro positivo tal que,
n>n0 Rightarrow|an+1+an+2+cdots+an+p|<varepsilon
para todo inteiro positivo p.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dada uma série sumn=1^inftyan, ela converge se, e somente se, para todo varepsilon>0 existe n0inN tal que, sempre que n>n0 e para todo inteiro positivo p,
l|an+1 + an+2 + cdots + an+pr| < varepsilon
O conteúdo envolvido é o Critério de Cauchy para séries: uma série converge exactly se sua sequência de somas parciais é uma sequência de Cauchy.

Passo 2

(Prova da condição necessária)
Suponha que sumn=1^inftyan converge. Defina as somas parciais
Sm = sumk=1^mak
Como a série converge, a sequência l(Smr)m=1^infty converge em R. Mas em R, toda sequência convergente é de Cauchy. Logo, para dado varepsilon>0 existe n0 tal que
m,n > n0 Longrightarrow |Sm - Sn| < varepsilon
Basta agora tomar m = n + p com pinN. Então
Sn+p - Sn ;=; an+1 + cdots + an+p,
e portanto sempre que n>n0 e todo p,
l|an+1 + cdots + an+pr| = l|Sn+p-Snr| <varepsilon
Isto mostra que a condição é necessária.

Passo 3

(Prova da condição suficiente)
Agora suponha que para todo varepsilon>0 existe n0 tal que, se n>n0 então para todo p>=1,
l|an+1 + cdots + an+pr| < varepsilon
Mais uma vez defina Sm = sumk=1^mak. Se m>n>n0, tome p = m-n. Então
Sm - Sn = an+1 + cdots + an+p,
e pela hipótese
|Sm - Sn| < varepsilon
Isso vale para todo m,n>n0, logo l(Smr) é uma sequência de Cauchy. Como R é completo, l(Smr) converge. Daí a série sumn=1^infty an converge.

Resposta

A condição dada é exatamente o Critério de Cauchy para séries:
A série sumn=1^infty an converge se, e somente se, para todo varepsilon>0 existe n0 tal que, sempre que n>n0 e para todo pinN,
l|an+1 + an+2 + cdots + an+pr| < varepsilon

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