Prove que a condição necessária e suficiente para que uma série seja convergente é que dado qualquer exista inteiro positivo tal que,
para todo inteiro positivo .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dada uma série , ela converge se, e somente se, para todo existe tal que, sempre que e para todo inteiro positivo ,
O conteúdo envolvido é o Critério de Cauchy para séries: uma série converge exactly se sua sequência de somas parciais é uma sequência de Cauchy.
Passo 2
(Prova da condição necessária)
Suponha que sumn=1^inftyan converge. Defina as somas parciais
Sm = sumk=1^mak
Como a série converge, a sequência l(Smr)m=1^infty converge em R. Mas em R, toda sequência convergente é de Cauchy. Logo, para dado varepsilon>0 existe n0 tal que
m,n > n0 Longrightarrow |Sm - Sn| < varepsilon
Basta agora tomar m = n + p com pinN. Então
Sn+p - Sn ;=; an+1 + cdots + an+p,
e portanto sempre que n>n0 e todo p,
l|an+1 + cdots + an+pr| = l|Sn+p-Snr| <varepsilon
Isto mostra que a condição é necessária.
Passo 3
(Prova da condição suficiente)
Agora suponha que para todo varepsilon>0 existe n0 tal que, se n>n0 então para todo p>=1,
l|an+1 + cdots + an+pr| < varepsilon
Mais uma vez defina Sm = sumk=1^mak. Se m>n>n0, tome p = m-n. Então
Sm - Sn = an+1 + cdots + an+p,
e pela hipótese
|Sm - Sn| < varepsilon
Isso vale para todo m,n>n0, logo l(Smr) é uma sequência de Cauchy. Como R é completo, l(Smr) converge. Daí a série sumn=1^infty an converge.
Resposta
A condição dada é exatamente o Critério de Cauchy para séries:
A série sumn=1^infty an converge se, e somente se, para todo varepsilon>0 existe n0 tal que, sempre que n>n0 e para todo pinN,