Problema 05 Calcule as derivadas abaixo através da definição então lim h 0 f(x+h)-f(x)h
f(x)=x^2+2 x, no ponto x=3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=x^2+2x no ponto x=3 usando a definição
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
Vamos aplicar essa fórmula em x=3.

Passo 2

Calculamos f(3+h) e f(3):
f(3+h)=(3+h)^2+2(3+h)=9+6h+h^2+6+2h=15+8h+h^2,
f(3)=3^2+2cdot3=9+6=15

Passo 3

Substituímos esses valores na definição:
f'(3)=limhto0f(3+h)-f(3)h =limhto0(15+8h+h^2)-15h =limhto08h+h^2h =limhto0(8+h)

Passo 4

Tomando o limite hto0 obtemos
limhto0(8+h)=8
Portanto, a derivada de f em x=3 é 8.

Resposta

A derivada pelo limite em x=3 é 8.

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