Exercício 20. (F. 4.3, ex.6) Resolva a equação abaixo:
Passo 1
O problema é a equação da onda amortecida
com condições de contorno
u(t,0)=u(t,l)=0 e condições iniciais
u(0,x)=f(x) ,
partialtu(0,x)=g(x) .
Conteúdo: separação de variáveis e expansão em séries de Fourier senoidais.
Conteúdo: separação de variáveis e expansão em séries de Fourier senoidais.
Passo 2
Suponha solução do tipo
Substituindo na PDE e dividindo por
TX obtém-se
Isso gera os dois ODEs
Passo 3
As condições
X(0)=X(l)=0 forçam autovalores
e para cada
n a equação temporal é
Passo 4
A equação de
Tn tem equação característica
com raízes
r=-kpmraizk^2-omega0n^2 . No caso subamortecido (
k<omega0n ) definimos
e a solução geral
Passo 5
A solução completa é
Usando
u(0,x)=f(x) e
partialtu(0,x)=g(x) expande-se
Os coeficientes são
onde
Resposta
com