Exercício 20. (F. 4.3, ex.6) Resolva a equação abaixo:
c partial^2 upartial t^2(t, x)=c^2 partial^2 upartial x^2(t, x)-2 k partial upartial t,(t, x) in] 0, infty[times] 0, l[ u(t, 0)=u(t, l)=0, t>infty u(0, x)=f(x), forall x in] 0, l[ partial upartial t(0, x)=g(x), forall x in] 0, l[

Passo 1

O problema é a equação da onda amortecida
partial^2upartial t^2+2kpartial upartial t-c^2partial^2upartial x^2=0
com condições de contorno u(t,0)=u(t,l)=0 e condições iniciais u(0,x)=f(x), partialtu(0,x)=g(x).
Conteúdo: separação de variáveis e expansão em séries de Fourier senoidais.

Passo 2

Suponha solução do tipo
u(t,x)=T(t),X(x)
Substituindo na PDE e dividindo por TX obtém-se
T''+2kT'c^2T=X''X=-lambda
Isso gera os dois ODEs
X''+lambda X=0, T''+2k,T'+c^2lambda,T=0

Passo 3

As condições X(0)=X(l)=0 forçam autovalores
lambdan=l(npilr)^2, Xn(x)=sin!l(npi xlr), ;n=1,2,dots
e para cada n a equação temporal é
Tn''+2k,Tn'+omega0n^2Tn=0, omega0n=c,npil

Passo 4

A equação de Tn tem equação característica
r^2+2k,r+omega0n^2=0,
com raízes r=-kpmraizk^2-omega0n^2. No caso subamortecido ( k<omega0n) definimos
omegan=raizomega0n^2-k^2
e a solução geral
Tn(t)=e^-k tl(Ancos(omegant)+Bnsin(omegant)r)

Passo 5

A solução completa é
u(t,x)=sumn=1^inftyTn(t),Xn(x) =sumn=1^inftye^-k tl(Ancos(omegant)+Bnsin(omegant)r) sin!l(npi xlr)
Usando u(0,x)=f(x) e partialtu(0,x)=g(x) expande-se
f(x)=sumn=1^inftyAnsin!l(tfracnpi xlr), g(x)=sumn=1^inftyl(-kAn+omeganBnr)sin!l(tfracnpi xlr)
Os coeficientes são
An=2lintegral0^lf(x)sin!l(tfracnpi xlr),dx, Bn=gn+k,Anomegan,
onde
gn=2lintegral0^lg(x)sin!l(tfracnpi xlr),dx

Resposta

boxed u(t,x) =sumn=1^inftye^-k tl[ Ancos(omegant) +gn+kAnomegansin(omegant) r] sin!l(npi xlr),
com
An=2lintegral0^lf(x)sin!l(tfracnpi xlr),dx, gn=2lintegral0^lg(x)sin!l(tfracnpi xlr),dx, omegan=raizl(tfracc,npilr)^2-k^2

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