Exercício 20: Um lote de componentes eletrônicos contém 20 itens, dos quais 5 são defeituosos.Seleciona-se ao acaso uma amostra de 5 itens. Calcule a probabilidade de que a amostra contenha no máximo um item defeituoso se
a amostragem é feita sem reposição.
a amostragem é feita sem reposição.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado: um lote com
itens, dos quais são defeituosos e são bons. - Ação: seleciona-se ao acaso uma amostra de
itens sem reposição. - Pergunta: calcular a probabilidade de que a amostra contenha no máximo um item defeituoso, ou seja, a probabilidade de ocorrer
ou item defeituoso na amostra.
Informações relevantes listadas:
- Tamanho da população:
. - Número de itens “sucesso” (defeituosos):
. - Tamanho da amostra:
. - Queremos
, onde é o número de defeituosos na amostra.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Quando a amostragem é sem reposição e queremos a probabilidade de retirar
itens defeituosos, usamos a distribuição hipergeométrica. - A ideia combinatória: contamos de quantas maneiras podemos escolher
defeituosos dentre os disponíveis e, simultaneamente, escolher os não defeituosos dentre os não defeituosos; dividimos pelo número total de maneiras de escolher itens quaisquer dentre .
Fórmula da probabilidade hipergeométrica:
onde:
-
é o número de combinações de elementos tomados a ; - aqui
, , .
Vou aplicar essa fórmula para
e
e somar os resultados.
Passo 3
Calcular o denominador comum
(explicação de como calcular combinações):
- A definição prática:
. - Calculando passo a passo:
Portanto o número total de amostras possíveis de
itens dentre
é
.
Passo 4
Calcular
, ou seja, nenhum defeituoso na amostra:
- Pela fórmula:
- Calculamos
(só há uma forma de escolher zero defeituosos). - Calcular
:
- Logo:
- Se quiser aproximar em decimal:
Passo 5
Calcular
, ou seja, exatamente um defeituoso na amostra:
- Pela fórmula:
- Calculamos
. - Calcular
:
- Logo:
- Em decimal:
Passo 6
Somar as probabilidades para obter
:
- Soma das frações:
- Simplificando a fração:
(dividimos numerador e denominador por e obtivemos ; isso não simplifica mais). - Em decimal (aproximado):
ou seja, aproximadamente .