Exercício 20: Um lote de componentes eletrônicos contém 20 itens, dos quais 5 são defeituosos.Seleciona-se ao acaso uma amostra de 5 itens. Calcule a probabilidade de que a amostra contenha no máximo um item defeituoso se
a amostragem é feita sem reposição.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: um lote com 20 itens, dos quais 5 são defeituosos e 15 são bons.
  • Ação: seleciona-se ao acaso uma amostra de 5 itens sem reposição.
  • Pergunta: calcular a probabilidade de que a amostra contenha no máximo um item defeituoso, ou seja, a probabilidade de ocorrer 0 ou 1 item defeituoso na amostra.
Informações relevantes listadas:
  • Tamanho da população: N=20.
  • Número de itens “sucesso” (defeituosos): K=5.
  • Tamanho da amostra: n=5.
  • Queremos P(X\le 1)=P(X=0)+P(X=1), onde X é o número de defeituosos na amostra.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Quando a amostragem é sem reposição e queremos a probabilidade de retirar k itens defeituosos, usamos a distribuição hipergeométrica.
  • A ideia combinatória: contamos de quantas maneiras podemos escolher k defeituosos dentre os K disponíveis e, simultaneamente, escolher os n-k não defeituosos dentre os N-K não defeituosos; dividimos pelo número total de maneiras de escolher n itens quaisquer dentre N.
Fórmula da probabilidade hipergeométrica:
P(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\,\binom{N-K}{\,n-k\,}}{\binom{N}{n}}
onde:
  • \binom{a}{b} é o número de combinações de a elementos tomados b a b;
  • aqui N=20, K=5, n=5.
Vou aplicar essa fórmula para k=0 e k=1 e somar os resultados.

Passo 3

Calcular o denominador comum \binom{N}{n}=\binom{20}{5} (explicação de como calcular combinações):
  • A definição prática: \displaystyle \binom{20}{5}=\frac{20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
  • Calculando passo a passo: 20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16 = 1860480
5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120
\binom{20}{5}=\frac{1860480}{120}=15504.
Portanto o número total de amostras possíveis de 5 itens dentre 20 é \binom{20}{5}=15504.

Passo 4

Calcular P(X=0), ou seja, nenhum defeituoso na amostra:
  • Pela fórmula: P(X=0)=\frac{\binom{5}{0}\,\binom{15}{5}}{\binom{20}{5}}.
  • Calculamos \binom{5}{0}=1 (só há uma forma de escolher zero defeituosos).
  • Calcular \binom{15}{5}: \binom{15}{5}=\frac{15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11 = 360360
5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120
\binom{15}{5}=\frac{360360}{120}=3003.
  • Logo: P(X=0)=\frac{1\cdot3003}{15504}=\frac{3003}{15504}.
  • Se quiser aproximar em decimal: P(X=0)\approx 0,1937.

Passo 5

Calcular P(X=1), ou seja, exatamente um defeituoso na amostra:
  • Pela fórmula: P(X=1)=\frac{\binom{5}{1}\,\binom{15}{4}}{\binom{20}{5}}.
  • Calculamos \binom{5}{1}=5.
  • Calcular \binom{15}{4}: \binom{15}{4}=\frac{15\cdot14\cdot13\cdot12}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
15\cdot14\cdot13\cdot12 = 32760
4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24
\binom{15}{4}=\frac{32760}{24}=1365.
  • Logo: P(X=1)=\frac{5\cdot1365}{15504}=\frac{6825}{15504}.
  • Em decimal: P(X=1)\approx 0,4402.

Passo 6

Somar as probabilidades para obter P(X\le 1):
  • Soma das frações: P(X\le 1)=P(X=0)+P(X=1)=\frac{3003}{15504}+\frac{6825}{15504}=\frac{9828}{15504}.
  • Simplificando a fração: \frac{9828}{15504}=\frac{819}{1292}(dividimos numerador e denominador por 12 e obtivemos \dfrac{819}{1292}; isso não simplifica mais).
  • Em decimal (aproximado): P(X\le 1)\approx 0,6339,ou seja, aproximadamente 63{,}39\%.

Resposta

\dfrac{819}{1292}\approx 0,6339

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