Exercício 28: Sendo X uma variável aleatória com distribuição F_{X}, determine a função de distribuição de -X e |X|.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar a função de distribuição de -X e de |X|, sabendo apenas que X é uma variável aleatória com função de distribuição F_{X}. Informações dadas que vamos usar:
  • Temos a função de distribuição de X, que por definição é F_{X}(x)=\mathbb{P}(X\le x).
  • Não foi dada continuidade nem densidade; portanto devemos apresentar fórmulas válidas em geral (abrangendo casos com átomos/discretos e com parte contínua).
    As perguntas explícitas são:
  • Qual é a função de distribuição de -X, isto é, encontrar F_{-X}(y)=\mathbb{P}(-X\le y) em termos de F_X?
  • Qual é a função de distribuição de |X|, isto é, encontrar F_{|X|}(z)=\mathbb{P}(|X|\le z) em termos de F_X?

Passo 2

Relembrando o que é necessário usar (mini-aula): definição e propriedades úteis de F_X.
  • Por definição, F_X(x)=\mathbb{P}(X\le x).
  • Para qualquer número a, \mathbb{P}(X<a)=\lim_{t\uparrow a}F_X(t). Esse limite é o chamado limite à esquerda de F_X, que vamos denotar por F_X(a^-).
  • A relação entre eventos complementares: \mathbb{P}(X\ge a)=1-\mathbb{P}(X<a)=1-F_X(a^-).
    Esses fatos são cruciais porque nas transformações aparecem desigualdades estritas e não estritas; por isso o F_X(\cdot^-) (limite pela esquerda) aparece naturalmente na resposta geral.

Passo 3

Determinação de F_{-X}(y) passo a passo.
  • Defina Y=-X. Queremos F_Y(y)=\mathbb{P}(Y\le y)=\mathbb{P}(-X\le y).
  • Manipule o evento: \mathbb{P}(-X\le y)=\mathbb{P}(X\ge -y).
  • Use a relação entre \mathbb{P}(X\ge a) e F_X: para a=-y,
\mathbb{P}(X\ge -y)=1-\mathbb{P}(X<-y)=1-F_X((-y)^-).
  • Portanto, a forma geral (válida incluindo pontos de salto) é
F_{-X}(y)=1-F_X((-y)^-).
  • Observação prática: se F_X for contínua em -y (ou seja, sem salto em -y), então F_X((-y)^-)=F_X(-y) e a fórmula fica mais simples:
F_{-X}(y)=1-F_X(-y)\qquad\text{(quando \(F_X\) é contínua em \(-y\)).}éí
  • Se X tem densidade f_X (caso contínuo), podemos derivar a densidade de Y=-X:
f_{-X}(y)=f_X(-y).
Isso é útil para calcular probabilidades no caso contínuo, mas a fórmula acima para F_{-X} é a resposta geral.

Passo 4

Exemplo rápido para fixar a ideia de -X\) (didático): - Suponha que \(X\) tem massa de probabilidade \(1/2\) em \(1\) e \(1/2\) em \(-2\). Então \[F_X(x)= \begin{cases} 0, & x<-2,\\[4pt] 1/2, & -2\le x<1,\\[4pt] 1, & x\ge1. \end{cases}
  • Para Y=-X\] os valores possíveis são \(-1 e 2 com probabilidades 1/2 cada. Aplicando a fórmula geral: F_{-X}(y)=1-F_X((-y)^-),e verificamos que dá a função-escada correta (por exemplo, F_{-X}(0)=1-F_X(0^-)=1-1/2=1/2, que corresponde à probabilidade de -X\le0, isto é, X\ge0).]

Passo 5

Determinação de F_{|X|}(z) passo a passo.
  • Defina Z=|X|. Para todo z\in\mathbb{R} temos primeiro que, se z<0,
F_{|X|}(z)=\mathbb{P}(|X|\le z)=0,
porque |X| é sempre não negativo.
  • Agora considere z\ge 0. Queremos
F_{|X|}(z)=\mathbb{P}(|X|\le z)=\mathbb{P}(-z\le X\le z).
  • Escreva esse intervalo em termos de F_X. Por definição,
\mathbb{P}(-z\le X\le z)=\mathbb{P}(X\le z)-\mathbb{P}(X<-z).
  • Use \mathbb{P}(X<-z)=F_X((-z)^-). Assim, para z\ge 0,
F_{|X|}(z)=F_X(z)-F_X((-z)^-).
  • Essa é a fórmula geral, válida mesmo com saltos. Se F_X for contínua em -z (isto é, sem salto em -z), podemos substituir F_X((-z)^-) por F_X(-z) e obter
F_{|X|}(z)=F_X(z)-F_X(-z)\qquad\text{(quando \(F_X\) contínua em \(-z\)).}í

Passo 6

Interpretações e casos especiais (mini-aula com exemplos):
  • Caso contínuo e simétrico em torno de zero (por exemplo, distribuição normal com média zero): para todo z\ge0 tem-se F_X(-z)=1-F_X(z). Se ainda for contínua, então
F_{|X|}(z)=F_X(z)-F_X(-z)=F_X(z)-(1-F_X(z))=2F_X(z)-1.
Assim, para uma distribuição contínua simétrica, F_{|X|}(z)=2F_X(z)-1 para z\ge0, e 0 para z<0.
  • Caso discreto com massa em pontos: por exemplo, se X toma \pm1 com probabilidade 1/2, então para z<1 temos F_{|X|}(z)=0 e para z\ge1 temos F_{|X|}(z)=1. Aplicando a fórmula geral: para z\in[0,1), F_X(z)-F_X(-z^-)=1/2-1/2=0; para z\ge1, F_X(z)-F_X(-z^-)=1-0=1. Funciona certinho.
  • Observação sobre saltos: a presença do termo com limite pela esquerda F_X((-z)^-) garante que contamos corretamente a probabilidade de X exatamente igual a -z (pois \mathbb{P}(-z\le X\le z) inclui o ponto -z).

Passo 7

Resumo prático e dica para prova (como aplicar rápido na hora):
  • Para -X: escreva \mathbb{P}(-X\le y)=\mathbb{P}(X\ge -y) e transforme para 1-\mathbb{P}(X<-y)=1-F_X((-y)^-). Se você sabe que F_X é contínua em -y, pode usar 1-F_X(-y).
  • Para |X|: se z<0 a resposta é 0. Se z\ge0, escreva \mathbb{P}(|X|\le z)=\mathbb{P}(-z\le X\le z)=F_X(z)-F_X((-z)^-). Se F_X for contínua em -z use F_X(z)-F_X(-z).
  • Lembre-se de sempre cuidar de \le versus <: é por isso que o limite pela esquerda aparece.

Resposta

[F_{-X}(y)=1-F_{X}((-y)^-))
(F_{|X|}(z)= \begin{cases} 0, & z<0,\\[4pt] F_{X}(z)-F_{X}((-z)^-), & z\ge 0. \end{cases}]]

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