Exercício 28: Sendo
uma variável aleatória com distribuição
, determine a função de distribuição de
e
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar a função de distribuição de
e de
, sabendo apenas que
é uma variável aleatória com função de distribuição
. Informações dadas que vamos usar:
- Temos a função de distribuição de
, que por definição é . - Não foi dada continuidade nem densidade; portanto devemos apresentar fórmulas válidas em geral (abrangendo casos com átomos/discretos e com parte contínua).
As perguntas explícitas são: - Qual é a função de distribuição de
, isto é, encontrar em termos de ? - Qual é a função de distribuição de
, isto é, encontrar em termos de ?
Passo 2
Relembrando o que é necessário usar (mini-aula): definição e propriedades úteis de
.
- Por definição,
. - Para qualquer número
, . Esse limite é o chamado limite à esquerda de , que vamos denotar por . - A relação entre eventos complementares:
.
Esses fatos são cruciais porque nas transformações aparecem desigualdades estritas e não estritas; por isso o(limite pela esquerda) aparece naturalmente na resposta geral.
Passo 3
Determinação de
passo a passo.
- Defina
. Queremos . - Manipule o evento:
. - Use a relação entre
e : para ,
- Portanto, a forma geral (válida incluindo pontos de salto) é
- Observação prática: se
for contínua em (ou seja, sem salto em ), então e a fórmula fica mais simples:
- Se
tem densidade (caso contínuo), podemos derivar a densidade de :
Isso é útil para calcular probabilidades no caso contínuo, mas a fórmula acima para
é a resposta geral.
Passo 4
Exemplo rápido para fixar a ideia de
- Para
e
com probabilidades cada. Aplicando a fórmula geral: e verificamos que dá a função-escada correta (por exemplo, , que corresponde à probabilidade de , isto é, ).]
Passo 5
Determinação de
passo a passo.
- Defina
. Para todo temos primeiro que, se ,
porque
é sempre não negativo.
- Agora considere
. Queremos
- Escreva esse intervalo em termos de
. Por definição,
- Use
. Assim, para ,
- Essa é a fórmula geral, válida mesmo com saltos. Se
for contínua em (isto é, sem salto em ), podemos substituir por e obter
Passo 6
Interpretações e casos especiais (mini-aula com exemplos):
- Caso contínuo e simétrico em torno de zero (por exemplo, distribuição normal com média zero): para todo
tem-se . Se ainda for contínua, então
Assim, para uma distribuição contínua simétrica,
para
, e
para
.
- Caso discreto com massa em pontos: por exemplo, se
toma com probabilidade , então para temos e para temos . Aplicando a fórmula geral: para , ; para , . Funciona certinho. - Observação sobre saltos: a presença do termo com limite pela esquerda
garante que contamos corretamente a probabilidade de exatamente igual a (pois inclui o ponto ).
Passo 7
Resumo prático e dica para prova (como aplicar rápido na hora):
- Para
: escreva e transforme para . Se você sabe que é contínua em , pode usar . - Para
: se a resposta é . Se , escreva . Se for contínua em use . - Lembre-se de sempre cuidar de
versus : é por isso que o limite pela esquerda aparece.
Resposta
[F_{-X}(y)=1-F_{X}((-y)^-))
(F_{|X|}(z)=
]]