Exercício 26: Suponha que o volume, em litros, de uma garrafa de refrigerante seja Normal com parâmetros
e
. Se três garrafas forem sorteadas ao acaso, pergunta-se a probabilidade de:
(a) Todas as três terem pelo menos 980 ml ;
(b) Não mais de uma ficar com volume inferior a 980 ml .
(a) Todas as três terem pelo menos 980 ml ;
(b) Não mais de uma ficar com volume inferior a 980 ml .
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória “volume de uma garrafa” com distribuição normal e pede duas probabilidades quando são sorteadas três garrafas. Dados e perguntas, listados claramente:
- Parâmetros da distribuição do volume (em litros):
e . - Logo
litros. - Tamanho da amostra: 3 garrafas, sorteadas ao acaso (assumimos independência entre volumes).
- Converter 980 ml para litros:
.
Perguntas:
(a) Qual a probabilidade de que todas as três tenham pelo menoslitros?
(b) Qual a probabilidade de que não mais de uma (ou seja, 0 ou 1) fique com volume inferior alitros?
Passo 2
Entender a peça teórica que precisamos usar (explicação passo a passo):
- Se
é Normal com média e desvio padrão , escrevemos . - Para calcular probabilidades com a Normal usamos a padronização: definimos
então
tem distribuição Normal padrão
. Isso nos permite usar a função de distribuição acumulada padrão
(tabelas ou calculadora).
- Propriedade de simetria da Normal padrão:
.
Aplicando ao nosso problema para uma garrafa: - Calculamos o valor padronizado correspondente a
:
- Assim, a probabilidade de uma garrafa ter volume maior ou igual a
litros é
- Usando a tabela da Normal padrão,
. Vou chamar esse valor de
- A probabilidade oposta (volume inferior a
) é
Passo 3
Resolvendo (a) passo a passo:
- Para todas as três garrafas terem pelo menos
litros, cada uma deve satisfazer o evento "volume ". Como as garrafas são independentes, multiplicamos as probabilidades:
- Já temos
. Calcular e (mostrando contas):
- Arredondando de forma prática para usar na prova sem calculadora, você pode escrever
.
Passo 4
Resolvendo (b) passo a passo (explicando a ideia do modelo binomial):
- Definimos sucesso aqui como "garrafa com volume inferior a
". A probabilidade desse sucesso em uma garrafa é . - O número de garrafas (entre 3) com volume inferior a
segue uma distribuição Binomial com parâmetros e probabilidade . A fórmula geral é
- “Não mais de uma” significa
ou . Então
- Como
, podemos escrever
- Já temos
e . Calculamos :
- Então
- Somando com
:
- Arredondando convenientemente para a prova:
.
Passo 5
Resumo rápido do raciocínio para você guardar para a prova:
- Padronize com
para transformar qualquer Normal em Normal padrão e usar . - Calcule a probabilidade para uma garrafa; com independência, para várias garrafas multiplica-se (caso todos precisem satisfazer a mesma condição) ou usa-se a distribuição binomial quando contamos quantas satisfazem a condição.
- Aqui
deu uma probabilidade alta por causa do pequeno desvio padrão ( ), então é muito provável que todas 3 fiquem acima de .
Resposta
(a)
(b)
(b)