Exercício 26: Suponha que o volume, em litros, de uma garrafa de refrigerante seja Normal com parâmetros \mu=1 e \sigma^{2}=10^{-4}. Se três garrafas forem sorteadas ao acaso, pergunta-se a probabilidade de:
(a) Todas as três terem pelo menos 980 ml ;
(b) Não mais de uma ficar com volume inferior a 980 ml .

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória “volume de uma garrafa” com distribuição normal e pede duas probabilidades quando são sorteadas três garrafas. Dados e perguntas, listados claramente:
  • Parâmetros da distribuição do volume (em litros): \mu=1 e \sigma^{2}=10^{-4}.
  • Logo \sigma=\sqrt{10^{-4}}=10^{-2}=0,01 litros.
  • Tamanho da amostra: 3 garrafas, sorteadas ao acaso (assumimos independência entre volumes).
  • Converter 980 ml para litros: 980\\ \text{ml}=0,98\\ \text{litros}.
    Perguntas:
    (a) Qual a probabilidade de que todas as três tenham pelo menos 0,98 litros?
    (b) Qual a probabilidade de que não mais de uma (ou seja, 0 ou 1) fique com volume inferior a 0,98 litros?

Passo 2

Entender a peça teórica que precisamos usar (explicação passo a passo):
  • Se X é Normal com média \mu e desvio padrão \sigma, escrevemos X\sim N(\mu,\sigma^{2}).
  • Para calcular probabilidades com a Normal usamos a padronização: definimos
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
então Z tem distribuição Normal padrão N(0,1). Isso nos permite usar a função de distribuição acumulada padrão \Phi (tabelas ou calculadora).
  • Propriedade de simetria da Normal padrão: \Phi(-z)=1-\Phi(z).
    Aplicando ao nosso problema para uma garrafa:
  • Calculamos o valor padronizado correspondente a 0,98:
z=\frac{0,98-1}{0,01}=\frac{-0,02}{0,01}=-2.
  • Assim, a probabilidade de uma garrafa ter volume maior ou igual a 0,98 litros é
P(X\ge 0,98)=1-P(X<0,98)=1-\Phi(-2)=\Phi(2).
  • Usando a tabela da Normal padrão, \Phi(2)\approx 0,977249868052. Vou chamar esse valor de
p=\Phi(2)\approx 0,977249868052.
  • A probabilidade oposta (volume inferior a 0,98) é
q=1-p=\Phi(-2)\approx 0,022750131948.

Passo 3

Resolvendo (a) passo a passo:
  • Para todas as três garrafas terem pelo menos 0,98 litros, cada uma deve satisfazer o evento "volume \ge 0,98". Como as garrafas são independentes, multiplicamos as probabilidades:
P(\text{todas 3}\ge 0,98)=p^{3}.
  • Já temos p\approx 0,977249868052. Calcular p^{2} e p^{3} (mostrando contas):
p^{2}\approx 0,977249868052^{2}\approx 0,9550172986,
p^{3}=p^{2}\cdot p\approx 0,9550172986\cdot 0,977249868052\approx 0,9332905536.
  • Arredondando de forma prática para usar na prova sem calculadora, você pode escrever P\approx 0,93329.

Passo 4

Resolvendo (b) passo a passo (explicando a ideia do modelo binomial):
  • Definimos sucesso aqui como "garrafa com volume inferior a 0,98". A probabilidade desse sucesso em uma garrafa é q\approx 0,022750131948.
  • O número de garrafas (entre 3) com volume inferior a 0,98 segue uma distribuição Binomial com parâmetros n=3 e probabilidade q. A fórmula geral é
P(\text{exatamente }k)=\binom{3}{k}q^{k}(1-q)^{3-k}.
  • “Não mais de uma” significa k=0 ou k=1. Então
P(k\le 1)=P(0)+P(1)=(1-q)^{3}+3q(1-q)^{2}.
  • Como 1-q=p, podemos escrever
P(k\le 1)=p^{3}+3qp^{2}.
  • Já temos p^{2}\approx 0,9550172986 e p^{3}\approx 0,9332905536. Calculamos p^{2}q:
p^{2}q\approx 0,9550172986\cdot 0,022750131948\approx 0,0217267450.
  • Então
3qp^{2}\approx 3\cdot 0,0217267450\approx 0,0651802350.
  • Somando com p^{3}:
P(k\le1)\approx 0,9332905536+0,0651802350\approx 0,9984707886.
  • Arredondando convenientemente para a prova: P\approx 0,99847.

Passo 5

Resumo rápido do raciocínio para você guardar para a prova:
  • Padronize com Z=(X-\mu)/\sigma para transformar qualquer Normal em Normal padrão e usar \Phi.
  • Calcule a probabilidade para uma garrafa; com independência, para várias garrafas multiplica-se (caso todos precisem satisfazer a mesma condição) ou usa-se a distribuição binomial quando contamos quantas satisfazem a condição.
  • Aqui p=\Phi(2) deu uma probabilidade alta por causa do pequeno desvio padrão ( \sigma=0,01), então é muito provável que todas 3 fiquem acima de 0,98.

Resposta

(a) 0,9332905536
(b) 0,9984707886

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