Exercício 5 (20 pontos) Sejam A uma matriz real de dimensão 2,
\operatorname{Tr}(A) o seu traço (isto é, a soma dos elementos na diagonal principal) e \operatorname{det}(A) seu determinante.
Mostre que toda matriz simétrica é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que toda matriz simétrica de dimensão 2 é diagonalizável.\n
Informações dadas e que vamos usar explicitamente:\n
  • A matriz é real e simétrica, isto é, é uma matriz 2\times 2 da forma
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] b & d\end{pmatrix},
com a,b,d\in\mathbb{R} e A^T=A.\n
  • Precisamos concluir que existe uma matriz invertível P tal que P^{-1}AP é diagonal (ou, melhor ainda, uma matriz ortogonal P com P^TAP diagonal).\n
    Nada mais será assumido neste passo — a resolução começa no próximo passo.]

Passo 2

Vamos lembrar o que significa diagonalizável e o que são autovalores e autovetores, de forma bem didática.\n
  • Definição: uma matriz A é diagonalizável se existe uma base do espaço formado por autovetores de A. Na prática, isto significa que podemos encontrar dois autovetores linearmente independentes v_1,v_2 e então montar P=[v_1\;v_2] tal que
P^{-1}AP=\begin{pmatrix}\lambda_1 & 0\\[4pt] 0 & \lambda_2\end{pmatrix},
onde \lambda_1,\lambda_2 são os autovalores correspondentes.\n
  • Como achar autovalores: resolvemos o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Para 2\times 2 isso dá um polinômio quadrático cujas raízes são os autovalores.\n
    Vou aplicar isso explicitamente ao caso A=\begin{pmatrix}a&b\\\ b&d\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calculemos o polinômio característico de A.\n
O polinômio característico é
\det\big(A-\lambda I\big)=\det\begin{pmatrix}a-\lambda & b\\[4pt] b & d-\lambda\end{pmatrix}=(a-\lambda)(d-\lambda)-b^2.
Expandindo temos
\det(A-\lambda I)=\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-b^2).
Note que a+d=\operatorname{Tr}(A) e ad-b^2=\det(A), então o polinômio é
\lambda^2-\operatorname{Tr}(A)\,\lambda+\det(A).]

Passo 4

Analisemos as raízes desse polinômio quadrático — são os autovalores. A fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) diz que as raízes são
\lambda=\frac{\operatorname{Tr}(A)\pm\sqrt{\operatorname{Tr}(A)^2-4\det(A)}}{2}.
O que importa aqui é o discriminante
\Delta=\operatorname{Tr}(A)^2-4\det(A).
Vamos mostrar que \Delta\ge 0 sempre e que, quando b\neq 0, \Delta>0. Isso garante que os autovalores são reais e, no caso b\neq 0, distintos.

Passo 5

Calculemos \Delta explicitamente em termos de a,b,d.\n
Substituindo \operatorname{Tr}(A)=a+d e \det(A)=ad-b^2 obtemos
\Delta=(a+d)^2-4(ad-b^2).
Expandindo e simplificando:
\Delta=a^2+2ad+d^2-4ad+4b^2=(a-d)^2+4b^2.
Como (a-d)^2\ge 0 e 4b^2\ge 0, concluímos que
\Delta=(a-d)^2+4b^2\ge 0.
Além disso, se b\neq 0 então 4b^2>0 e assim \Delta>0, o que dá duas raízes reais e distintas.

Passo 6

Conclusão sobre autovalores a partir do discriminante:\n
  • Se b\neq 0, então \Delta>0 e portanto A tem dois autovalores reais distintos \lambda_1\neq\lambda_2. Dois autovalores distintos implicam que existem dois autovetores linearmente independentes, logo A é diagonalizável.\n
  • Se b=0, então a matriz A é
A=\begin{pmatrix}a & 0\\[4pt] 0 & d\end{pmatrix},
ou seja, já está em forma diagonal (já é uma matriz diagonal). Portanto também é diagonalizável.\n
Assim cobrimos todos os casos: com b=0 já é diagonal; com b\neq 0 tem autovalores reais e distintos, logo é diagonalizável.]

Passo 7

Para reforçar a compreensão, explico por que autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais no caso de matrizes simétricas (isso dá até uma diagonalização por matriz ortogonal).\n
Sejam v e w autovetores de A com autovalores \lambda e \mu, respectivamente. Então
Av=\lambda v\qquad\text{e}\qquad Aw=\mu w.
Considere o produto interno v\cdot (Aw). Como A é simétrica, temos v\cdot (Aw)=(Av)\cdot w. Substituindo Av e Aw:
v\cdot (Aw)=v\cdot(\mu w)=\mu(v\cdot w)
e
(Av)\cdot w=(\lambda v)\cdot w=\lambda(v\cdot w).
Igualando as duas expressões (pois são a mesma quantidade) obtemos
\lambda(v\cdot w)=\mu(v\cdot w).
Logo (\lambda-\mu)(v\cdot w)=0. Se \lambda\neq\mu, então v\cdot w=0: os vetores são ortogonais.\n
Isto permite, no caso de autovalores distintos, escolher autovetores unitários ortogonais u_1,u_2 e montar uma matriz ortogonal P=[u_1\;u_2] tal que
P^TAP=\begin{pmatrix}\lambda_1 & 0\\[4pt] 0 & \lambda_2\end{pmatrix}.
Ou seja, diagonalização via mudança de base ortonormal.]

Passo 8

Recapitulando e finalizando de forma concreta e prática:\n
  • Se b=0, A já é diagonal; pronto.\n
  • Se b\neq 0, calculamos o discriminante e vimos que \Delta=(a-d)^2+4b^2>0, então existem dois autovalores reais distintos, podemos encontrar dois autovetores linearmente independentes (e até ortogonais), e montar uma matriz P invertível (mesmo ortogonal) que diagonaliza A.\n
    Portanto toda matriz simétrica real 2\times 2 é diagonalizável.

Resposta

Toda matriz simétrica 2\times 2 é diagonalizável.

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