Exercício 5 (20 pontos) Sejam A uma matriz real de dimensão 2,
o seu traço (isto é, a soma dos elementos na diagonal principal) e
seu determinante.
Mostre que toda matriz simétrica é diagonalizável.
Mostre que toda matriz simétrica é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que toda matriz simétrica de dimensão
é diagonalizável.\n
Informações dadas e que vamos usar explicitamente:\n
Informações dadas e que vamos usar explicitamente:\n
- A matriz é real e simétrica, isto é, é uma matriz
da forma
com
e
.\n
- Precisamos concluir que existe uma matriz invertível
tal que é diagonal (ou, melhor ainda, uma matriz ortogonal com diagonal).\n
Nada mais será assumido neste passo — a resolução começa no próximo passo.]
Passo 2
Vamos lembrar o que significa diagonalizável e o que são autovalores e autovetores, de forma bem didática.\n
- Definição: uma matriz
é diagonalizável se existe uma base do espaço formado por autovetores de . Na prática, isto significa que podemos encontrar dois autovetores linearmente independentes e então montar tal que
onde
são os autovalores correspondentes.\n
- Como achar autovalores: resolvemos o polinômio característico
. Para isso dá um polinômio quadrático cujas raízes são os autovalores.\n
Vou aplicar isso explicitamente ao caso.]
Passo 3
Calculemos o polinômio característico de
.\n
O polinômio característico é
O polinômio característico é
Expandindo temos
Note que
e
, então o polinômio é
Passo 4
Analisemos as raízes desse polinômio quadrático — são os autovalores. A fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) diz que as raízes são
O que importa aqui é o discriminante
Vamos mostrar que
sempre e que, quando
,
. Isso garante que os autovalores são reais e, no caso
, distintos.
Passo 5
Calculemos
explicitamente em termos de
.\n
Substituindo e
obtemos
Substituindo
Expandindo e simplificando:
Como
e
, concluímos que
Além disso, se
então
e assim
, o que dá duas raízes reais e distintas.
Passo 6
Conclusão sobre autovalores a partir do discriminante:\n
- Se
, então e portanto tem dois autovalores reais distintos . Dois autovalores distintos implicam que existem dois autovetores linearmente independentes, logo é diagonalizável.\n - Se
, então a matriz é
ou seja, já está em forma diagonal (já é uma matriz diagonal). Portanto também é diagonalizável.\n
Assim cobrimos todos os casos: com já é diagonal; com
tem autovalores reais e distintos, logo é diagonalizável.]
Assim cobrimos todos os casos: com
Passo 7
Para reforçar a compreensão, explico por que autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais no caso de matrizes simétricas (isso dá até uma diagonalização por matriz ortogonal).\n
Sejam e
autovetores de
com autovalores
e
, respectivamente. Então
Sejam
Considere o produto interno
. Como
é simétrica, temos
. Substituindo
e
:
e
Igualando as duas expressões (pois são a mesma quantidade) obtemos
Logo
. Se
, então
: os vetores são ortogonais.\n
Isto permite, no caso de autovalores distintos, escolher autovetores unitários ortogonais e montar uma matriz ortogonal
tal que
Isto permite, no caso de autovalores distintos, escolher autovetores unitários ortogonais
Ou seja, diagonalização via mudança de base ortonormal.]
Passo 8
Recapitulando e finalizando de forma concreta e prática:\n
- Se
, já é diagonal; pronto.\n - Se
, calculamos o discriminante e vimos que , então existem dois autovalores reais distintos, podemos encontrar dois autovetores linearmente independentes (e até ortogonais), e montar uma matriz invertível (mesmo ortogonal) que diagonaliza .\n
Portanto toda matriz simétrica realé diagonalizável.
Resposta
Toda matriz simétrica
é diagonalizável.