Exercício 20. (D.K. ex. 4.1 e 4.2) Prove que:
dd x ln (x)=P V(1x).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, no sentido de distribuições, que a derivada de ln(x) é a distribuição valor principal de 1/x. O conteúdo que vamos usar é:
– Definição de derivada de uma distribuição T, dada por
lang<= T',varphirang<= = -lang<= T,varphi'rang<=
para toda função-teste varphi.
– Definição da distribuição valor principal de 1/x, que age em varphi como
PVl(tfrac1xr)[varphi] =limvarepsilonto0^+integral|x|>varepsilonvarphi(x)x,dx

Passo 2

Denotemos por T a distribuição induzida por xmapstoln|x|. Para mostrar que T'=PV(1/x) basta verificar
lang<= T',varphirang<= =-lang<= T,varphi'rang<= = PVl(tfrac1xr)[varphi]

Passo 3

Começamos escrevendo
lang<= T',varphirang<= =-lang<= T,varphi'rang<= =-integral-infty^inftyln|x|;varphi'(x),dx =,-limvarepsilonto0^+integral|x|>varepsilonln|x|;varphi'(x),dx,
onde no último passo removemos um pequeno vizinho de 0 para controlar a singularidade.

Passo 4

Fazendo integração por partes em cada intervalo (-infty,-varepsilon) e (varepsilon,infty), obtemos
-integral|x|>varepsilonln|x|;varphi'(x),dx =l[-ln|x|,varphi(x)r]|x|=varepsilon^|x|toinfty +integral|x|>varepsilonvarphi(x)x,dx
Como varphi tem suporte compacto, nos limites xtopminfty o termo de contorno some. Resta analisar em |x|=varepsilon.

Passo 5

O termo de contorno em x=pmvarepsilon é
-l(lnvarepsilonl)l[varphi(varepsilon)-varphi(-varepsilon)r]
Como varphi é contínua, varphi(pmvarepsilon)=varphi(0)+O(varepsilon), logo
varphi(varepsilon)-varphi(-varepsilon)=O(varepsilon) e
lnvarepsilon=O(lnvarepsilon). Assim
limvarepsilonto0^+ ln(varepsilon),O(varepsilon) =0,
portanto todos os termos de contorno desaparecem ao passar ao limite varepsilonto0.
Substituindo de volta, obtemos
lang<= T',varphirang<= =limvarepsilonto0^+integral|x|>varepsilonvarphi(x)x,dx =PVl(tfrac1xr)[varphi]

Resposta

Portanto, no sentido de distribuições,
ddxln(x) =PVl(1xr)

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