Exercício 20. (D.K. ex. 4.1 e 4.2) Prove que:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, no sentido de distribuições, que a derivada de
é a distribuição valor principal de
. O conteúdo que vamos usar é:
– Definição de derivada de uma distribuição , dada por
– Definição de derivada de uma distribuição
para toda função-teste
.
– Definição da distribuição valor principal de , que age em
como
– Definição da distribuição valor principal de
Passo 2
Denotemos por
a distribuição induzida por
. Para mostrar que
basta verificar
Passo 3
Começamos escrevendo
onde no último passo removemos um pequeno vizinho de
para controlar a singularidade.
Passo 4
Fazendo integração por partes em cada intervalo
e
, obtemos
Como
tem suporte compacto, nos limites
o termo de contorno some. Resta analisar em
.
Passo 5
O termo de contorno em
é
Como
é contínua,
, logo
e
. Assim
portanto todos os termos de contorno desaparecem ao passar ao limite
.
Substituindo de volta, obtemos
Resposta
Portanto, no sentido de distribuições,