Calcule d zd t pela regra da cadeia e confira os resultados por meio de substituição seguida de aplicação das regras de derivação.
z=sen x y ; x=3 t, y=t^2.

Passo 1

O enunciado define
z = sin(xy),
com
x = 3t e y = t^2
O conteúdo aqui é derivação usando a regra da cadeia e a derivada de sin.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia temos
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt
Como
partial zpartial x = cos(xy),y, partial zpartial y = cos(xy),x, dxdt=3, dydt=2t,
segue
dzdt = cos(xy)l(ycdot3 + xcdot2tr)

Passo 3

Substituindo x=3t e y=t^2 dentro de cos(xy) e no parêntese, obtemos
dzdt = cosl(3tcdot t^2r)l(3t^2 + (3t)cdot2tr) = cos(3t^3)l(3t^2 + 6t^2r) = 9t^2cos(3t^3)

Passo 4

Para conferir, fazemos substituição direta em z:
z = sin(3tcdot t^2) = sin(3t^3)
Derivando em t,
dzdt = cos(3t^3),ddt(3t^3) = cos(3t^3)cdot 9t^2 = 9t^2cos(3t^3),
confirmando o resultado anterior.

Resposta

dzdt = 9t^2cosl(3t^3r)

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