Exercício 20. Em um sistema de sorteio tem duas urnas de cores diferentes, ou seja, uma preta e uma marrom, cujas probabilidade de sorteio de cada uma das urnas é, respectivamente, igual à 0.4 e 0.6 . Dentro da urna preta tem 15 bolas brancas e 25 bolas amarelas e dentro da urna marrom tem 35 bolas brancas e 65 bolas amarelas. Se você sorteou uma bola amarela, qual é a probabilidade de que ela tenha vindo da urna preta? (R: 0.3906)
Passo 1
O enunciado pergunta: “Se você sorteou uma bola amarela, qual é a probabilidade de que ela tenha vindo da urna preta?”\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- Probabilidade de escolher a urna preta:
. - Probabilidade de escolher a urna marrom:
. - Na urna preta:
bolas brancas e bolas amarelas (total bolas). - Na urna marrom:
bolas brancas e bolas amarelas (total bolas). - Sabemos que a bola sorteada foi amarela; queremos a probabilidade de que ela tenha vindo da urna preta.
Passo 2
Calcular a probabilidade de tirar uma bola amarela condicionada à escolha da urna preta, isto é,
.\n
Regra usada: quando escolhemos uma urna e depois uma bola dessa urna, a probabilidade condicional de obter uma bola de certo cor é “número de bolas dessa cor na urna” dividido por “total de bolas na urna”. Logo,
Regra usada: quando escolhemos uma urna e depois uma bola dessa urna, a probabilidade condicional de obter uma bola de certo cor é “número de bolas dessa cor na urna” dividido por “total de bolas na urna”. Logo,
Passo 3
Calcular a probabilidade de tirar uma bola amarela condicionada à escolha da urna marrom, isto é,
.\n
Usando a mesma lógica de contagem,
Usando a mesma lógica de contagem,
Passo 4
Calcular a probabilidade total de sair uma bola amarela,
, usando a regra da probabilidade total:\n
A probabilidade de sair amarela é a soma das probabilidades de sair amarela vindo de cada urna, ponderadas pela probabilidade de escolher cada urna. Em fórmula:
A probabilidade de sair amarela é a soma das probabilidades de sair amarela vindo de cada urna, ponderadas pela probabilidade de escolher cada urna. Em fórmula:
Substituindo os valores (usando frações para evitar arredondamento prematuro):
e
. Portanto,
Calcule cada termo:
Somando,
Passo 5
Aplicar o Teorema de Bayes para encontrar
.\n
Fórmula de Bayes (em palavras): a probabilidade de que a bola tenha vindo da urna preta dado que ela é amarela é a razão entre a probabilidade conjunta “preta e amarela” e a probabilidade de “amarela”. Em fórmula:
Fórmula de Bayes (em palavras): a probabilidade de que a bola tenha vindo da urna preta dado que ela é amarela é a razão entre a probabilidade conjunta “preta e amarela” e a probabilidade de “amarela”. Em fórmula:
Aqui:
-
já calculamos como . -
. -
.
Passo 6
Fazer as contas explícitas e simplificar sem arredondar desnecessariamente:\n
Numerador:
Numerador:
Agora dividir pelo denominador
:
Transformando em decimal:
Arredondando para quatro casas decimais (como no gabarito indicado):
Passo 7
Interpretação intuitiva (ajuda para lembrar na prova): se fizéssemos
sorteios independentes, em média
vezes escolheríamos a urna preta e
vezes a marrom. Dessas
vezes da urna preta,
seriam bolas amarelas. Das
vezes da marrom,
seriam amarelas. No total teríamos
bolas amarelas, das quais
vieram da urna preta, então a proporção é
. Isso confirma o resultado e é uma boa maneira de explicar o raciocínio em palavras na hora da prova.