Exercício 20. Em um sistema de sorteio tem duas urnas de cores diferentes, ou seja, uma preta e uma marrom, cujas probabilidade de sorteio de cada uma das urnas é, respectivamente, igual à 0.4 e 0.6 . Dentro da urna preta tem 15 bolas brancas e 25 bolas amarelas e dentro da urna marrom tem 35 bolas brancas e 65 bolas amarelas. Se você sorteou uma bola amarela, qual é a probabilidade de que ela tenha vindo da urna preta? (R: 0.3906)

Passo 1

O enunciado pergunta: “Se você sorteou uma bola amarela, qual é a probabilidade de que ela tenha vindo da urna preta?”\n
Informações dadas:
  • Probabilidade de escolher a urna preta: 0,4.
  • Probabilidade de escolher a urna marrom: 0,6.
  • Na urna preta: 15 bolas brancas e 25 bolas amarelas (total 15+25=40 bolas).
  • Na urna marrom: 35 bolas brancas e 65 bolas amarelas (total 35+65=100 bolas).
  • Sabemos que a bola sorteada foi amarela; queremos a probabilidade de que ela tenha vindo da urna preta.

Passo 2

Calcular a probabilidade de tirar uma bola amarela condicionada à escolha da urna preta, isto é, P(\text{Amarela}\mid\text{Preta}).\n
Regra usada: quando escolhemos uma urna e depois uma bola dessa urna, a probabilidade condicional de obter uma bola de certo cor é “número de bolas dessa cor na urna” dividido por “total de bolas na urna”. Logo,
P(\text{Amarela}\mid\text{Preta})=\frac{25}{40}=\frac{5}{8}=0,625.

Passo 3

Calcular a probabilidade de tirar uma bola amarela condicionada à escolha da urna marrom, isto é, P(\text{Amarela}\mid\text{Marrom}).\n
Usando a mesma lógica de contagem,
P(\text{Amarela}\mid\text{Marrom})=\frac{65}{100}=\frac{13}{20}=0,65.

Passo 4

Calcular a probabilidade total de sair uma bola amarela, P(\text{Amarela}), usando a regra da probabilidade total:\n
A probabilidade de sair amarela é a soma das probabilidades de sair amarela vindo de cada urna, ponderadas pela probabilidade de escolher cada urna. Em fórmula:
P(\text{Amarela})=P(\text{Amarela}\mid\text{Preta})\cdot P(\text{Preta})+P(\text{Amarela}\mid\text{Marrom})\cdot P(\text{Marrom}).
Substituindo os valores (usando frações para evitar arredondamento prematuro): P(\text{Preta})=0,4=\frac{2}{5} e P(\text{Marrom})=0,6=\frac{3}{5}. Portanto,
P(\text{Amarela})=\frac{5}{8}\cdot\frac{2}{5}+\frac{13}{20}\cdot\frac{3}{5}.
Calcule cada termo:
\frac{5}{8}\cdot\frac{2}{5}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}=0,25,
\frac{13}{20}\cdot\frac{3}{5}=\frac{39}{100}=0,39.
Somando,
P(\text{Amarela})=0,25+0,39=0,64=\frac{16}{25}.

Passo 5

Aplicar o Teorema de Bayes para encontrar P(\text{Preta}\mid\text{Amarela}).\n
Fórmula de Bayes (em palavras): a probabilidade de que a bola tenha vindo da urna preta dado que ela é amarela é a razão entre a probabilidade conjunta “preta e amarela” e a probabilidade de “amarela”. Em fórmula:
P(\text{Preta}\mid\text{Amarela})=\frac{P(\text{Amarela}\mid\text{Preta})\cdot P(\text{Preta})}{P(\text{Amarela})}.
Aqui:
  • P(\text{Amarela}\mid\text{Preta}) já calculamos como \frac{5}{8}.
  • P(\text{Preta})=\frac{2}{5}.
  • P(\text{Amarela})=\frac{16}{25}.

Passo 6

Fazer as contas explícitas e simplificar sem arredondar desnecessariamente:\n
Numerador:
P(\text{Amarela}\mid\text{Preta})\cdot P(\text{Preta})=\frac{5}{8}\cdot\frac{2}{5}=\frac{1}{4}.
Agora dividir pelo denominador \frac{16}{25}:
P(\text{Preta}\mid\text{Amarela})=\frac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{16}{25}}=\frac{1}{4}\cdot\frac{25}{16}=\frac{25}{64}.
Transformando em decimal:
\frac{25}{64}=0,390625.
Arredondando para quatro casas decimais (como no gabarito indicado):
0,3906.

Passo 7

Interpretação intuitiva (ajuda para lembrar na prova): se fizéssemos 1000 sorteios independentes, em média 1000\cdot0,4=400 vezes escolheríamos a urna preta e 1000\cdot0,6=600 vezes a marrom. Dessas 400 vezes da urna preta, 400\cdot0,625=250 seriam bolas amarelas. Das 600 vezes da marrom, 600\cdot0,65=390 seriam amarelas. No total teríamos 250+390=640 bolas amarelas, das quais 250 vieram da urna preta, então a proporção é 250/640=25/64\approx0,390625. Isso confirma o resultado e é uma boa maneira de explicar o raciocínio em palavras na hora da prova.

Resposta

0,3906

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