Exercício 20 (Verdadeiro ou Falso) Considere-se um sistema de coordenadas ortonormais ( O, imath, jmath, k ). Considerem-se os pontos A(2 ; 1 ;-1), B(-1 ; 2 ; 4), C(0 ;-2 ; 3), D(1 ; 1 ;-2); considere-se o plano (P): x-2 y+z=-1. Determinar, com a devida justificativa, se cada uma das proposições seguintes é verdadeira ou falsa.
20.5 A reta que contém o ponto (B) e tem vetor diretor u= (1 ;-1 ; 1) é perpendicular ao plano (P).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a reta que passa por B(-1;2;4) e tem vetor diretor u=(1,-1,1) é perpendicular ao plano P: x-2y+z=-1. Para isso, lembramos que uma reta é perpendicular a um plano se e somente se seu vetor diretor for paralelo ao vetor normal desse plano.

Passo 2

O vetor normal de P é n=(1,-2,1), extraído dos coeficientes de x, y e z na equação do plano. Devemos verificar se existe escalar lambda tal que
u=lambda,n

Passo 3

Comparando componentes na igualdade u=lambda,n, obtemos
1=lambdacdot1, -1=lambdacdot(-2), 1=lambdacdot1
Das duas primeiras igualdades sairia lambda=1 pela primeira, mas então a segunda seria -1=1cdot(-2)=-2, o que é falso. Portanto u não é paralelo a n.

Resposta

A proposição é falsa.

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