Exercício 24 (Equações paramétricas) Considere-se o espaço munido de um sistema de coordenadas ortonormais (O ; imath, jmath, k). Sejam s, t in R parâmetros reais. Considere-se o plano com equação geral (P): x-2 y+3 z=-5; considerem-se o plano ( Q ) e a reta (R) com as respectivas representações paramétricas
(Q):l x=-2+s+2 t y=-s-2 t z=-1-s+3 t (s, t in R) (R):l x=-2+t y=-t z=-1-t (t in R)
Considerem-se os pontos M=(-1 ; 2 ; 3), N=(1 ;-2 ; 9).
24.4 Determinar se os planos (P) e (Q) são paralelos.

Passo 1

O enunciado fornece dois planos no espaço:
Pcolon x - 2y + 3z = -5
e
Qcolon x = -2 + s + 2t y = -s - 2t z = -1 - s + 3t ;(s,tinR)
Precisamos verificar se esses dois planos são paralelos, o que ocorre exatamente quando seus vetores normais são colineares.

Passo 2

Identificamos o vetor normal de P. Num plano de equação geral
ax + by + cz + d = 0
o vetor normal é (a,b,c).
No nosso caso,
nP = (1,,-2,,3)

Passo 3

Para Q temos dois vetores diretores, obtidos a partir dos coeficientes de s e t:
v1 = (1,,-1,,-1), v2 = (2,,-2,,3)
O vetor normal a Q é dado pelo produto vetorial
nQ = v1 times v2
Calculando,
nQ = det i & j & k 1 & -1 & -1 2 & -2 & 3 = (-1cdot 3 - (-1)cdot(-2)),i - (1cdot 3 - (-1)cdot 2),j + (1cdot(-2) - (-1)cdot 2),k
nQ = (-3 - 2,, - (3 + 2),, -2 + 2) = (-5,,-5,,0)

Passo 4

Dois planos são paralelos se e somente se seus vetores normais são múltiplos escalares entre si. Devemos checar se existe lambdainR tal que
(1,,-2,,3) = lambda,(-5,,-5,,0)
Isso exigiria
1 = -5lambda, -2 = -5lambda, 3 = 0cdotlambda
Já a terceira igualdade ,3 = 0cdotlambda é impossível. Logo não há lambda que satisfaça todas simultaneamente.

Resposta

Os planos P e Q não são paralelos.

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